Question

Zeige mithilfe der Definition des Grenzwertes, dass

\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{2n+3}{4n-1}=\frac12\) gilt, das bedeutet, zeige:
Zu jedem ε > 0 gibt es ein N(ε) ∈ N, so dass für alle n ≥ N(ε)$$\frac{2n+3}{4n-1}-\frac{1}{2} \lt ε$$erfüllt ist.
Gebe ein derartiges N(ε) für ε ∈ {0.2, 10^-2} an.


Ich verstehe überhaupt nicht, was ich hier machen soll.

Answer 1

Aloha :)

Wir sollen den Grenzwert der Folge$$a_n\coloneqq\frac{2n+3}{4n-1}$$mit der Definition des Grenzwertes begründen. Zu diesem Zweck subtrahieren wir den vermutlichen Grenzwert \(a=\frac12\) von der Folge und vereinfachen den Ausdruck:$$\left|a_n-a\right|=\left|\frac{2n+3}{4n-1}-\frac12\right|=\left|\frac{2n-\frac12+\frac72}{4n-1}-\frac12\right|=\left|\frac{2n-\frac12}{4n-1}+\frac{\frac72}{4n-1}-\frac12\right|$$$$\phantom{\left|a_n-a\right|}=\left|\frac{\cancel{2n-\frac12}}{2\cdot\cancel{\left(2n-\frac12\right)}}+\frac{7}{8n-2}-\frac12\right|=\left|\frac12+\frac{7}{8n-2}-\frac12\right|=\frac{7}{8n-2}$$

Wir wählen nun ein \(\varepsilon>0\) völlig beliebig und halten es fest. Wir müssen zeigen, dass die gerade berechnete Differenz für fast alle \(n\) kleiner als dieses \(\varepsilon\) wird.$$|a_{n}-a|<\varepsilon\Longleftrightarrow\frac{7}{8n-2}<\varepsilon\Longleftrightarrow\frac{8n-2}{7}>\varepsilon\Longleftrightarrow n>\frac{7\varepsilon+2}{8}$$

Für jedes beliebig gewählte \(\varepsilon>0\) können wir also ein \(n_0=\left\lceil\frac{7\varepsilon+2}{8}\right\rceil\) angeben, sodass für alle \(n\ge n_0\) gilt: \(\left|a_n-\frac12\right|<\varepsilon\). Die Folge konvergiert daher gegen \(\frac12\).