MIthilfe der Definition des Grenzwertes zeigen, dass gilt lim_(n-> unendlich) (5n+2) / (10n-5) = 1/2

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie mithilfe der Definition des Grenzwertes, dass gilt

\( \lim\limits_{n\to\infty} \)   \( \dfrac{5n+2}{10n-5} \) = \( \dfrac{1}{2} \)

Problem/Ansatz:

Ich weiß überhaupt nicht wie ich mit der Aufgabe anfangen soll bzw. wie ich diese lösen kann nach langem überlegen.. :)

Answer 1

\( \lim\limits_{n\to\infty} \)   \( \frac{5n+2}{10n-5} \) = \( \frac{1}{2} \)

Du musst zeigen: Zu jedem ε>0 gibt es ein N, so dass für alle n>N

gilt   | a_n - 1/2 | < ε .

Etwa so:  Sei  ε>0 . Dann gilt   | an - 1/2 | < ε

              <=>|  (5n+2) / (10n-5)  -   1/2   | < ε

gemeinsamen Nenner herstellen

<=>|  (10n+4) / (20n-10)  -   (10n-5)/(20n-10)   | < ε

<=>|    9 / (20n-10)    | < ε

Da für nat. n alles pos. ist, fällt der Betrag weg

<=>    9 / (20n-10)    < ε

Nenner ist pos. also problemlos: mal Nenner

<=>    9    < ε * (20n-10)

<=>    9    < 20nε-10ε

<=>    9 + 10ε  < 20nε

<=>    (9 + 10ε) / (20ε)   < n

Nun ist   (9 + 10ε) / (20ε) irgendeine reelle Zahl.

Nach dem Axiom des Archimedes gibt es eine größere

nat. Zahl. Die nennst du N .

Dann gilt für alle n > N jedenfalls  n >  (9 + 10ε) / (20ε)  .

Und da man die Äquivalenzumformungen alle rückgängig

machen kann also   | an - 1/2 | < ε        q.e.d.

Answer 2

Kürzen mit n:

(5-2/n)/(10-5/n) = (5+0)/(10+0) = 5/10 = 1/2 für n gg. oo.

Answer 3

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