Mit Hilfe der Definition des Grenzwertes beweisen, dass Grenzwert 1/3 ist. Was nach: 1/(9n^2-6)< ε?

Question

Ich muss mit der Definition des Grenzwertes den Grenzwert der Folge x(n) beweisen, Grenzwert 1/3

x(n) =(1-n^2)/(2-3n^2)

Nach umformen, Betrag auflösen gelange ich zu dem:

\( \frac{1}{9 n^{2}-6}<\mathcal{E} \)

Wie löse ich das auf? Muss ich eine Fallunterscheidung machen?

Comments

Eine Fallunterscheidung ist nicht notwendig, da  9n² - 6  für  n > 0  immer positiv ist. Daher sollte es keine Probleme beim Auflösen nach  n  geben.

Answer 1

Fallunterscheidung nicht nötig, denn:

Falls n ≥ 1 ist der Nenner (9n^2-6) > 0

1/(9n^2-6)< ε         |* Nenner, durch ε>0
1/ε < 9n^2 - 6

6 + 1/ε < 9n^2

2/3 + 1/(9ε) <n^2          |Wurzel. n>0 nach Voraussetzung

√(2/3 + 1/(9ε) ) <n

(Vorbehalt: Rechenfehler weiter oben oder in dieser Umformung)