Question

Berechne die Ableitung der Funktion f(x) = 9x² an der Stelle x=3 durch Definition. 

Answer 1

Hab's mal etwas ausführlicher gemacht, damit es klarer wird. Später kann man dann auch paar Zwischenschritte auslassen.

$$ f(x) = 9x^2 \ , \quad x_0 = 3$$

$$\lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x-x_0} =  \lim_{x \to x_0} \frac{9x^2 - 9 \cdot 3^2}{x - 3} = \lim_{x \to x_0} \frac{9x^2 - 81}{x - 3} $$

$$= \lim_{x \to x_0} \frac{9 (x^2 -9)}{x - 3} = \lim_{x \to x_0} \frac{9 (x -3)(x+3)}{x - 3}$$

$$= \lim_{x \to x_0} 9 (x+3) = \lim_{x \to x_0} (9x+27) = 9 \cdot 3 + 27 = 54 $$

Answer 2

 

ich weiß nicht, was eine Ableitung durch Definition bedeutet :-)

 

f(x) = 9x²

f'(x) = 18x

Also

f'(3) = 18 * 3 = 54

 

Berechnet mit der h-Methode: 

[f(3 + h) - f(3)] / h =

[9 * (3 + h)² - 9 * 3²] / h =

[9 * (9 + 6h + h²) - 81] / h =

(81 + 54h + 9h² - 81) / h =

(9h² + 54h) / h =

9h + 54

Für h -> 0 geht dieser Term gegen 54

 

Besten Gruß