Lösung durch Partialbruchzerlegung.
Wir teilen den Term in Brüche auf, x / [ (x + 1)²(x + 2) ] = A/(x+1) + B(x+1)² + C/(x+2) und bestimmen die Koeffizienten A, B, C.
Dazu bringen wir die Brüche auf den Hauptnenner (x+1)²(x+2) = (x+1)(x+1)(x+2), das ergibt
A(x²+3x+2)/[ (x+1)(x+1)(x+2) ] + B(x+2)/[ (x+1)(x+1)(x+2) ] + C(x²+2x+1)/[ (x+1)(x+1)(x+2) ].
Jetzt multiplizieren wir die Klammern aus
( Ax² + 3Ax + 2A + Bx + 2B + Cx² + 2Cx + C ) / [ x³ + 4x² + 5x + 2 ] und klammern die x nach Potenzen aus x²(A+C) + (3A + B + 2C)x + (2A + 2B + C)x^0
Nun erfolgt der Koeffizientenvergleich. Wir vergleichen ursprünglichen Zähler, hier also x, mit dem Zähler, in dem die Unbekannten stehen und erhalten x = x²(A+C) + (3A + B + 2C)x + (2A + 2B + C)x0
Links der Gleichung sind die Koeffizienten von x² gleich Null, weil es keine gibt :-) Daraus folgt
0 = A+C
Der Koeffizient von x ist 1, daraus folgt
1 = 3A + B + 2C
Der Koeffizient von x0 ist 0, es folgt
0 = 2A + 2B + C
Wir erhalten das Gleichungssystem
A+C = 0
3A + B + 2C = 1
2A + 2B + C = 0
Mit den Lösungen A =2, B = -1, C = -2.
Damit ist die Partialzerlegung komplett:
x / [ (x + 1)²(x + 2) ] = 2/(x+1) - 1/(x+1)² - 2/(x+2)
Das können wir integrieren und erhalten
∫x / [ (x + 1)²(x + 2) ]dx = ∫ (2/(x+1) - 1/(x+1)² - 2/(x+2))dx
= ∫2/(x+1)dx - ∫1/(x+1)²dx - ∫2/(x+2))dx
= 2 ln(x+1) + 1/(x+1) - 2 ln(x+2) + C
Beste Grüße
gorgar
