Lösung von iz^2+6z-9i+1=0

Question

Hey zusammen ich soll folgende Gleichung lösen und scheitere daran

iz^2+6z-9i+1=0 

Vielen Dank schon mal!

Answer 1

iz²+6z-9i+1=0   | : i

z^2 - 6iz + 9 - i = 0

So weit einverstanden?

Nun kannst du die pq - Formel mit p= -6i und q = (9-i)

oder die abc-Formel mit a=1, b=-6i und c= (9-i) nutzen.

Alternativ: Quadratische Ergänzung 

Analog zu: https://www.mathelounge.de/193070/komplexe-zahlen-bestimmen-sie-losung-folgender-gleichung 

Answer 2

Hallo JC

i·z² + 6·z - 9·i + 1 = 0

Du kannst die Gleichung durch i teilen und dann die komplexe quadratische Gleichung mit der pq-Formel lösen, oder in Real-  und Imaginärteil der linken Seite aufspalten:

z = a + b·i

i·(a + b·i)² + 6·(a + b·i) - 9·i + 1 = 0

2·a·(3 - b) + 1 + i · (a² - b² + 6·b - 9) = 0

Realteil  und  Imaginärteil  müssen jeder für sich = 0 sein:

2·a·(3 - b) + 1  =  0      und    (a² - b² + 6·b - 9)  =  0

1, Gleichung nach a auflösen und in zweite Gleichung einsetzen   →  b_1,2

Kontrolllösung:

( a = - √2/2  ∧  b = 3 - √2/2)    ∨   (a = √2/2  ∧  b = √2/2 + 3)

z₁  =  - √2/2 + i·(3 - √2/2)     ;     z₂  =  √2/2 + i·(√2/2 + 3)

Gruß Wolfgang

Comments

Vielen Dank für die schnelle Hilfe!

Mein Problem ist gerade noch die Lösung der beiden Gleichungen

Habe für a=-1/[2 (3-b)]

Und dann für die 2. (b-3)^2=a^2

Kann sein, dass ich mich mittlerweile völlig verfranzt habe und deswegen die Lösung nicht mehr sehe

Gruß Steffen

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Das ist tatsächlich etwas lästig :-)

Wenn man ausmultiplzieren würde, würde man eine extrem lästige Polynomgleichung

 4. Grades erhalten. Es geht - Dank an den Aufgabensteller :-) - aber einfacher:

Einsetzen von a in dein (b-3)² = a² :

1 / (2·(b - 3))² - b² + 6·b - 9 = 0

1 / ( 4·(b - 3)² )   =  (b-3)²     |  * 4 | * ·(b - 3)²

1  =  4 * (b-3)⁴

(b-3)⁴  = 1/4   | √ 

(b-3)²  =  ± 1/2  | √

b - 3 = ± √(1/2) = ± √2 / 2

b_1,2  = 3  ± √2 / 2

Einsetzen in dein a = ....   ergibt dann a₁ und a₂