Komplexe Zahlen Potenzen, Wurzeln: z^2 = 5+9i.

Question

Gleichung mit komplexen Zahlen lösen:

z^{2} = 5 + 9i

\( (x+i y)^{2}=x^{2}+2 x y i-y \)

\( x^{2}+y^{2}=5 \)

\( 2 x y=9 \quad \Rightarrow x=\frac{9}{2 y} \)

\( \left(\frac{9}{2 y}\right)^{2}+y^{2}=5 \Rightarrow \frac{81}{4 y^{2}}+y^{2}=5 \)

\( 4 y^{4}+20 y^{2}+8 x=0 \quad y^{2}=a \)

\( 4 a^{2}+20 y+81=0 \)

\( 1 \Rightarrow a=\frac{20 \pm \sqrt{(-20)^{2}-4(81)(4)}}{8}=\frac{-20 \pm \sqrt{-896}}{8}= \)

 \( a^{\prime}_{1} = 2,6478 \quad a_{2} =-7,6478 \)

\( y_{1}=\sqrt{2678}=1,6364 \)

\( y_{1}=\sqrt{7,6478}=2,7654 \)

Warum wird hier eine quadratische Gleichung eingesetzt und nicht über die Polarform Z₀ und Z₁ gerechnet?

Wann muss ich in die quardratische Gleichung gehen?

In Zeile 1 erhalte ich nicht die Ergebnisse von a₁ und a₂. Wie wird mit der -896 in der Wurzel umgegangen?

Answer 1

i

ich habe das mal schnell gerechnet (zum Vergleich mit " Deinem " Weg")

Schauh es Dir in Ruhe an.

Antworten:

1.)warum wird hier eine quardratische Gleichung eingesetzt..? Und nicht über die  Polarform  Z₀ und Z₁. Wann muss ich in die quardratische Gleichung gehen ? 

Ich kenne die genaue Aufgabenstellung nicht. Das Verfahren ist egal  und führt zu gleichen Ergebnissen.

Meistens wird der Weg  über die Polarform gegangen.Der Rechenaufwand ist bedeutend geringer.

2.) Zeile 1 -> Erhalte ich nicht die Ergebnisse von a₁ und a_2, wie wird mit der -896 in der Wurzel umgegangen.

der Fehler liegt in der 2. Zeile . Es muß richtig heißen:

x^2 - y^2 =5 , weil iy * iy= -y^2 ist.

Comments

Vielen Dank :)

1.) Ich kenne die genaue Aufgabenstellung nicht. Das Verfahren ist egal  und führt zu gleichen Ergebnissen.

In der Aufgabenstellung heisst es, löse nach z auf und stelle die Lösung sollen in der Gaussischen Zahlenebene dar. D.h, die Lösung müsste noch in die Polardarstellung umgeformt werden...?

2.)

 

In die negative Lösung y² kann lässt sich doch i einsetzen und dann wäre y² sie zu lösen...?

3.)

Ich habe die Aufgabe versucht in der Polarform zu lösen, nun komme ich aber immer wieder ins Nirvana :(

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Hallo

Deine Frage:

In die negative Lösung y² kann lässt sich doch i einsetzen und dann wäre y² sie zu lösen...?

(y_2) ^2= -7.65

Antwort:

Wenn Du die Wurzel ziehst , erhält man:

 2.76i und

-2.76 i

Das geht sicherlich, aber hier wird der Imginärteil gesucht und der ist NICHT komplex.

Deswegen entfällt diese Lösung . Falls du das immer noch nicht glaubst ,kannst Du ja mal die Proble machen und Du siehst , das die Gleichung mit diesen Werten nicht erfüllt  ist.

Im Übrigen schlage ich Dir vor ,sich von diesem Weg zu trennen, wie gesagt, ist viel zu aufwendig.

Hier mag es ja noch gehen. Aber Du hast in der Praxis  z^3 , z^4 und höher.Und Zeit hast Du in Klausuren immer wenig . In der Praxis wird auch dieser Weg verlangt (meistens)j je nach Aufgabe.

Ich habe Dir mal den 2. Weg eingestellt, Du warst ja selbst schon auf gutem Weg dahin.

Viel Spaß damit.

:-)

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Vielen Dank, Ihr seit grossartig :)


Um das umsetzten habe ich mich an einer weiteren Aufgabe versucht :(  Als Ergebins soll z_{0 =} 6 - i und z_{1 =} -6 + 1.

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Hallo

ich habs mal schnell mit der "Zauberformel" gerechnet.

:-)

Schuah es Dir in Ruhe an.

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Dank dir ist mir so einiges klarer geworden :) Heute ist wohl nicht mein Tag :( Kannst du in deinem Rechner Grad und Bogenmass miteinander verrechnen..?

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z⁴ = 4 cis180 => z = ⁴√4 cis180 = √2 cis180 

Wie komme ich auf das Ergebnis √2