Komplexe Wurzeln: Wie löst man eine Gleichung mithilfe von Polarkoordinaten? z^4 = 9i

Question

Wie löst man solch eine Gleichung mithilfe von Polarkoordinaten?

z⁴ = 9i

Erstmal kann man ja umformen zu z^{4 _} 9i = 0

Wie geht es weiter?

Answer 1

Hier meine Lösung der Aufgabe:

Comments

warum ist phi pi/2 und nicht pi/4?

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tan(π/4) ist 1, aber nicht 0

tan(φ)= ∞ , Wo ist Tangens im 1. Quadranten nicht definiert?

Schau Dir die Tangensfunktion an , das ist bei π/2 der Fall.

Answer 2

z^4 = 9·EXP(pi/2·i)

z1 = √3·EXP((pi/8 + 0)·i)

z2 = √3·EXP((pi/8 + pi/2)·i)

z3 = √3·EXP((pi/8 + pi)·i)

z4 = √3·EXP((pi/8 + 3/2·pi)·i)

Answer 3

Du suchst alle "vierten Wurzeln aus 9i" und brauchst gar nicht umzuformen, weil du Polarkoordinaten verwenden darfst.

Vgl. Theorie hier https://de.wikipedia.org/wiki/Wurzel_(Mathematik)#Wurzeln_aus_komplexen_Zahlen

z⁴ = 9i       |  Polarkoordinaten: 

z⁴ = 9 e^{ iπ/2} 

…

analog zu https://www.mathelounge.de/240338/komplexe-zahlen-polarkoordinatendarstellung-w-%E2%88%9A3-i-w-11-12 

Answer 4

alternative:

binomische Formel:

z^{4}-9i=(z^2+3√i)(z^2-3√i)

√i=e^{iπ/4}

(z^2+3√i)(z^2-3√i)

=(z^2+3e^{iπ/4})(z^2-3e^{iπ/4})

Nun erneut binomische Formel anwenden:

(z^2+3e^{iπ/4})

=(z+√3 *e^{iπ/8})*(z-√3 *e^{iπ/8})

Nun kannst du schon 2 Nullstellen ablesen. Die anderen beiden bekommst du mithilfe des zweiten Faktors

(z^2-3e^{iπ/4})=...

auf selbem Wege.