Polarkoordinaten Menge D = {(z-i)/(z+i) I z € C, Im(z) >0 } aufzeigen

Question

Zeigen Sie, dass es zu der Menge

D = {(z-i)/(z+i) I z € C, Im(z) >0  }

Konstanten l € R₀⁺   und phi₁,phi₂ € [0,2Pi] mit phi₁ <= phi₂ deart gibt, dass gilt: D= { r(cos(phi)+ i* sin (phi ) ) I r € [0,l), phi €  [phi₁ , phi₂)   }

ich hoffe doch sehr das man alles erkennen kann.

hier bitte ausführlich zeigen^^

Answer 1

Hallo

 jede Zahl mit Betrag <1 kann man so schreiben, du musst also nur Zeigen, dass der Betrag <1 ist. du kannst mit dem konj des Nenners erweitern oder  mit z-1, oder die Beträge von Z und N einzeln bilden.

Gruß lul

Comments

Und wie geht es weiter?

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Ist das so richtig?

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also eine Sache ist glaub ich falsch:

Im Zähler: -i*-i sind i^2, also -1 und nicht +1

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Hallo

 falsch nur, was schon hg bemerkt hat, aber du willst ja zeigen, dass der Betrag davon <1 (im Notfall nie z=x+iy)

Gruß lul

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also ich komme auf

jetzt so auf (z^(2)-2iz-1)/(z^(2)+1)

wie geht es dann jetzt aber weiter?

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Hallo

 bei notfalls sollte stehen Nimm z=x+iy und bilde die Beträge das kannst du auch direkt im Ausgangsbruch.

Gruß lul

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ich bin jetzt verwirrt das andere wäre eh doch nur variante 2 oder?

ich weiss aber im moment nicht ob ich zuende bin oder weiter rechnen muss.

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Hallo

 was hast du denn von dem zu beweisenden gezeigt. Rechne |x+(y-1)*i| und |x+(y+1)*i| was ist größer, was der Betrag des Bruches?

Gruß lul

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IzI= sqrt(x^(2)+(y-1)^(2)) =  sqrt(x^(2)+y^(2)+1)

IzI= sqrt(x²+y²+2y+1)

dann habe ich noch (z^(2)-2iz-1)/(z^(2)+1)

die Grössere wäre dann doch

IzI= sqrt(x²+y²+2y+1)  diese hier oder nicht?

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Hallo

 du schreibst nicht, mit was du vergleichst, meinst aber wahrscheinlich das richtige, den Betrag des Zählers solltest du aber hinschreiben und dann Z/N<1

Gruß lul

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Diese beiden habe ich verglichen.

IzI= sqrt(x^(2)+(y-1)^(2)) =  sqrt(x^(2)+y^(2)+1)

IzI= sqrt(x²+y²+2y+1)

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den Betrag des Zählers solltest du aber hinschreiben und dann Z/N<1

So in etwa?

(z^(2)-2iz-1) = Ii(z-1)^(2)-1I

Irgwie wikt das falsch für mich(was ich gemacht habe)

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|x+iy+1|=√(x^2+(y+1)^2

|x+iy-1| =√(x^2+(y-1)^2

das ist für jedes x,y eine feste Zahl r, also kann man z=r*(cos(fi)+sin(fi)) schreiben  mit dem Betrag r.

ich hatte zwischendrin ne andere Aufgabe im Kopf, deshalb wollte ich r<1 das ist aber nicht gefordert. sorry.

Gruss lul

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Kein thema.

Aber auch so

Bin grad so verwirrt:)

Wie weit bin ich in der aufgabe?

Mein kopf fühlt sich an als ob er gleich platzt^^

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Kann nich wer bitte mit den schluss zeigen?

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https://en.m.wikipedia.org/wiki/Cayley_transform

Wie bekommt das mit dem hier hin?