Bestimmen Sie für jedes n aus N die Lösungsmenge der Gleichung z^n=i!?

Question

Hallo kann mir jemand bei dieser Aufgabe helfen?

Für jedes n aus N soll die Lösungsmenge der Gleichung zⁿ = i gefunden werden.

Ich weiß, dass ich mit zⁿ = rⁿ (cos  (n phi) + i sin (n phi)) da rangehen muss, weiß aber leider nicht wie

 

Answer 1

 

zⁿ = i gefunden werden.

Ich weiß, dass ich mit zⁿ = rⁿ (cos  (n phi) + i sin (n phi)) 

Erst mal Radius und Winkel von i bestimmen.

r = |i| = 1

Winkel: Richtung y-Achse: Also 90° oder pi/2 und

periodisch weiter pi/2 + 2kpi,  k Element Z

Ansatz: zⁿ = rⁿ (cos  (n phi) + i sin (n phi)) 

Werte für i einsetzen:

r^n =1 , ==> r=1

(cos  (n phi) + i sin (n phi)) = cos (pi/2) + i sin(pi/2))

Erste Möglichkeit

n phi = pi/2          / n

phi = pi/(2n)

Weitere Möglichkeitn aus Periodizität.

n phi = pi/2 + 2kpi

phi = pi/2n + 2kpi/n    , k Element Z.

Resultat: n-Eck mit Ecken auf Einheitskreis.

L = {z| z = (cos  (pi/2n + 2kpi/n) + i sin (pi/2n + 2kpi/n)) , k Element Z}