Komplexe Wurzeln z^5 = -32?

Question

Ich habe für die Aufgabe z^5 = -32 als Ergebnis -2e^{pi/5}i raus. Oder aich -2e^{3pi/5}i doch WolframAlpha nicht das gleiche raus bzw. nur andere vorzeichen. Wo ist mein fehler ? Kann mir das jemand vorrechnen ?

Answer 1

Hi,

Ziehe die 5te Wurzel und es ergibt sich allgemein:

$$\sqrt[n]{r}\cdot e^{\frac{\phi+2k\pi}{n}i}$$

dabei k die Werte von 0 bis n-1 annimmt.

Mit -32 haben wir r = 32 und Φ = π und es ergibt sich:

$$z_k = 2\cdot e^{\frac{\pi+2k\pi}{5}i} $$

für k zwischen 0 und 4.

Grüße

Answer 2

z^5 = - 32 = 32 * e^{pi*i}

z = (32 * e^{pi*i})^1/5 = 2 * e^{pi/5*i}

Vergiss jetzt aber die anderen Lösungen nicht die nur andere Winkel haben. Es sollte insgesamt 5 Lösungen geben.

Answer 3

z⁵ = -32  hat natürlich die Lösung  z₁ = -2  = -2 + 0 • i    (Winkel φ₁ = 180°, r = ⁵√2 )

Es gibt aber in der komplexen Ebene ℂ noch 5-1  4 weitere Lösungen.

Diese erhältst du, wenn du den Pfeil zu (-2|0) jeweils um k • 360°/5 = 72° um den Ursprung drehst:

φ₂ = 252°  →  x = r • cos(φ₂)   und y = r • sin(φ₂) 

φ₃ = 324°  →  x = r • cos(φ₃)   und y = r • sin(φ₃) 

φ₄ = 36°  →    x = r • cos(φ₄)   und y  r • sin(φ₄) 

φ₅ = 108°  →  x = r • cos(φ₅)   und y = r • sin(φ₅) 

Gruß Wolfgang