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die Aufgabe bei der ich nicht weiter komme lautet:

Bestimmen Sie alle z Element C für die gilt: z^3=8

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Willkommen hier,

\( z^{3}=8 \)

allgemein gilt:

\( z_{k}=|a|^{\frac{1}{n}}  \cdot e^{i \frac{\ φ+2 k \pi}{n}} \quad(k=0,1,2) \)

\( |a|=\sqrt{(\text { Realteil })^{2}+(\text {Imaginärteil })^{2}}=\sqrt{8^{2}+0^{2}}=8 \)

\( \tanφ=\frac{\text { Imaginärteil }}{\operatorname{Realteil }}=\frac{0}{8}=0 \)

\( φ=0^{\circ} \)

\( n=3 \)

\( z_{0}=8^{\frac{1}{3}}  e^{i \frac{0^{°}+2  0 \pi}{3}}=2 e^{0}=2 \)

\( z_{1}=2 e^{i \frac{0+2 \cdot 1 \pi}{3}}=2 e^{i \frac{2 \pi}{3}} \)

\( z_{1}=2\left(\cos \left(\frac{2 \pi}{3}\right)+i \sin \left(\frac{2 \pi}{3}\right)\right) \)

\( z_{1}=2\left(-\frac{1}{2}+i \frac{\sqrt{3}}{2}\right) \)

z1 = -1 +i \( \sqrt{3} \)

\( z_{2}=2 \cdot e^{i \frac{0 +2*2\pi}{3}}=2 e^{i \frac{4 \pi}{3}} \)

\( z_{2}=2\left(\cos \left(\frac{4 \pi}{3}\right)+i \sin \left(\frac{4 \pi}{3}\right)\right) \)

\( z_{2}=2\left(\cos \left(240^{\circ}\right)-i \sin \left(240^{\circ}\right)\right) \)

\( z_{2}=2\left(-\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=-1-i \sqrt{3} \)

Avatar von 121 k 🚀

Abgesehen davon das ich dein handschriftliches mitunter nur
schwer entziffern kann :

Es scheint noch weitere Lösungen außer z = 2 zu geben.

Wie dies ? Laß mich nicht unwissend sterben.

mfg Georg

georgborn: Grosserloewe hat das mit Polarkoordinaten gerechnet.

Es gibt immer so viele "Wurzeln", wie der Wurzelexponent vorhersagt. Hier also 3.

Schau mal bei den ähnlichen Fragen oder in der Wikipedia unter "komplexen Wurzeln".

An der Darstellung von Grosserloewe gibt es wenig auszusetzen. Wer handschriftliche Lösungen abzugeben hat, benutzt diese Art von Blattaufteilung.

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Ein Wechsel der Darstellungsform ist gar nicht erforderlich, es ist vielmehr sogar einfacher und weniger aufwändig, wenn man stattdessen wie folgt faktorisiert:
$$ 0 = z^3-8 \\ 0 = (z-2)\cdot(z^2+2z+4) \\ 0 = (z-2)\cdot(z-(-1+\text{i}\sqrt{3}))\cdot(z-(-1-\text{i}\sqrt{3})).$$
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Genau: schon in der 2. Zeile kann das jeder sofort sehen, der die pq-Lösungsformel kennt.

Nur dass die negativen Wurzelargumente am Ende mit i ausgedrückt werden:

sqrt(-3)=(-3)^{1/2} = i * √3  

http://www.lamprechts.de/gerd/php/gleichung-6-grades.php )

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