Komplexe Wurzeln. Alle w für die gilt, dass w^2=z?

Question

Ich habe die Aufgabe:

Sei z = -5 - 12i. Bestimmen sie alle w mit w² = z.

Ich habe nun den Ansatz genommen, dass

w = a + bi

ist und diesen quadriert, also:

w²= |w|² * (cos(2*arg(w)) + i*sin(2*arg(w)))

Jedoch komme ich nach diesem Schritt nicht mehr weiter. Ich wäre über jede Hilfe sehr dankbar.

Answer 1

w^2= x^2-y^2 +i*2xy

Jetzt Real und Imaginärteil teil auf beiden Seiten vergleichen.

Answer 2

a²-b²+2abi=-5-12i

Dann ist

a²-b²=-5

2ab=12

Löse dies System.

Answer 3

"Ich habe nun den Ansatz genommen, dass

w = a + bi ist und diesen quadriert"

... und dann kommen in deinem Ergebnis weder a noch b vor. Das hilft also kaum.

Hättest du a + bi wirklich quadriert, hättest du a²-b² +2abi erhalten.

Das ist eine komplexe Zahl mit dem Realteil a²-b² und dem Imaginärteil 2ab.

Wenn beim Quadrieren eigentlich -5 - 12i rauskommen sollte, so muss

a²-b²=-5

und

2ab =-12

gelten.

Löse dieses Gleichungssystem, und du ehältst die beiden Paare (a,b) mit (2;-3) und (-2;3).

Answer 4

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Comments

Autsch. Wie holst du denn aus einem groben Näherungswert für den Winkel (du hättest ja die Gradzahl auch mit 200 oder mehr Nachkommastellen angeben können) plötzlich so glatte Werte für Real- und Imaginärteil?

Du hast doch nur geschätzt, dass Taschenrechnerwerte wie z.B 1,9999923756 oder 2,0000358267 möglicherweise auf "2" hindeuten könnten.

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nix Autsch , wenn Du alle Stellen in den Rechner eingibst,

kommst Du auf die glatten Werte.

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"nix Autsch , wenn Du alle Stellen in den Rechner eingibst,"

Auuuuuuutsch!!!!!!

Jetzt wird es peinlich. Wie kannst du von einer irrationalen Zahl (höre zu und lerne: eine Zahl mit unendlich vielen - und nicht periodischen-  Dezimalstellen) ALLE Stellen in den Rechner eingeben?

Dein Rechner hatte lediglich die Entscheidung, eine Zahl wie
1,99999999999999999999997

innerhalb der zur Verfügung stehenden Anzeigestellen entweder als

1,999....999

oder als 2 anzuzeigen. Aufgrund einprogrammierter Rundungs- bzw- Abbruchregeln hat er sich zu deinem Glück für 2 entschieden. Das ist aber noch lange kein Indiz dafür, das der Wert tatsächlich 2 ist.

Unendlich viele verschiedene reelle Ergebnisse zwischen

1,999...9995 und 2,000...0005 werden von deinem Rechner als "2" angezeigt, ohne wirklich "2" zu sein.

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Wie gut das es Dich gibt .

Mit dieser Methode kann man auch das Problem lösen.

Selbstbewußtsein hast Du ja ohne Ende.

Danke für Deine Antwort.