Komplexe Wurzeln z+j/j-z=2z

Question

Hallo Erstmal...


Ich habe in Mathe ein Problem. Ich komme bei dieser Aufgabe einfach nicht mehr weiter...

Ich weiß nicht von wo ich was anfagen soll,. Ich würde mich zutiefst freuen, wenn ihr mir hilfreich wärt.
Die Aufgabe lautet: Berechnen Sie alle Komplexen Lösungen von z+j/ j-z= 2z


geben sie die Lösungen in der Exponentialform an.
Ich verstehe die Aufgabe einfach nicht, ich kann es nicht verstehen nicht nachvollziehen....

Würde mich freuen, wenn es einer so erklären kann das es kurz und knapp wird, also das ich es verstehen kann.


LG

Comments

Ich weiß nicht von wo ich was anfagen soll,.

Vielleicht solltest du damit beginnen, die Aufgabe so darzustellen, wie sie gemeint ist.

So wie sie da steht, ist sie nämlich recht einfach zu lösen:

z + j / j - z = 2 z

<=> z + 1 - z = 2 z

<=> 1 = 2 z

<=> z = 1 / 2

So aber ist die Aufgabe vermutlich nicht gemeint, also verwende bitte Klammern, um Zähler und Nenner eindeutig darzustellen.

---

Recht herzlichen Dank erstmal für deine Antwort, vielen vielen Dank....

Also die Aufgabe ist wirklich so gemeint, ich setze mal Klammern auf vielleicht ist es dann besser weil ich hier kein Bruch zeichen einfügen kann...


(z+j)/ (j-z) = 2z

 ausgeschrieben dass ganze: ( in Bruch; (Z+J) durch (J-Z) , ist gleich 2z.

 Und ich wollte mal nochmla fragen wie du hier auf  <=> z + 1 - z = 2 z kommst....

aber wo ist den das "J" hin, das habe ich nicht so ganz verstanden. Ich dachte mir, vielleicht hast du bei der ersten klammer das J durch 1 ersetzt, aber in der zweiten Klammer ist ja auch ein J, wo ist den das hin?
Ich habe zwar das Ergebnis aber ich verstehe es nicht, weil da kein rechenweg ist.
Es soll als Ergebnis Zo= 1,4313 exp(2,1563j) und Z1=0,3493 exp(-0,5855j) rauskommen.
Ps: als Notiz steht da noch etwas von quadratischer Ergänzung und Resubstituion.


Ich weiß nicht ob das weiter hilft, ich komm mit dieser Aufgabe nicht klar :((((

---

1. Alternative:$$ \frac{z+i}{i-z}=2z\\z+i=-2z^2+2zi\\0=-2z^2+2zi-z-i\\0=-2z^2+(2i-1)z-i\\0=z^2-\frac{2i-1}{2}z+\frac{i}{2} $$$$z_{1,2}=\frac{2i-1}{4}\pm \sqrt{\left(\frac{2i-1}{4}\right)^2-\frac{i}{2}}\\z_{1,2}=\frac{2i-1}{4}\pm \sqrt{-\frac{3}{16}-\frac{3}{4}i}$$2. Alternative:
$$\frac{re^{x i}+i}{i-re^{x i}}=2re^{x i}\\re^{x i}+i=2re^{x i}(i-re^{x i})\\re^{x i}+i=2ire^{x i}-2r^2(e^{x i})^2\\0=2ire^{x i}-2r^2(e^{x i})^2-re^{x i}-i\\0=-2r^2(e^{x i})^2+(2i-1)re^{x i}-i$$

Da du das Ergebnis eh in numerischer Form vorliegen hast, kannst du den Betrag und das Argument der ersten Alternative bestimmen.  Substitution sollte bei der 2. Alternative funktionieren mit x=re^{xi}. Du kommst dann auf die 1. Alternative. Aber das Ergebnis in algebraischer PolarForm ist schon eine ziemliche Rechnerei.

Answer 1

Hi,

Zitat von sigma:

1. Alternative:

$$ \frac{z+i}{i-z}=2z\\z+i=-2z^2+2zi\\0=-2z^2+2zi-z-i\\0=-2z^2+(2i-1)z-i\\0=z^2-\frac{2i-1}{2}z+\frac{i}{2} z_{1,2}=\frac{2i-1}{4}\pm \sqrt{\left(\frac{2i-1}{4}\right)^2-\frac{i}{2}}\\z_{1,2}=\frac{2i-1}{4}\pm \sqrt{-\frac{3}{16}-\frac{3}{4}i} $$

2. Alternative:

$$\frac{re^{x i}+i}{i-re^{x i}}=2re^{x i}\\re^{x i}+i=2re^{x i}(i-re^{x i})\\re^{x i}+i=2ire^{x i}-2r^2(e^{x i})^2\\0=2ire^{x i}-2r^2(e^{x i})^2-re^{x i}-i\\0=-2r^2(e^{x i})^2+(2i-1)re^{x i}-i $$

Da du das Ergebnis eh in numerischer Form vorliegen hast, kannst du den Betrag und das Argument der ersten Alternative bestimmen.  Substitution sollte bei der 2. Alternative funktionieren mit x=re^{xi}. Du kommst dann auf die 1. Alternative. Aber das Ergebnis in algebraischer PolarForm ist schon eine ziemliche Rechnerei.

Aufräumaktion.

Comments

Wieso erkennt der LaTeX nicht? 555

---

Du hattest den Text leicht grau gefärbt, damit war im TeX-Code HTML enthalten und das Umwandeln hat nicht funktioniert. Merke: TeX immer unformatiert einfügen - ohne Farben, Unterstreichungen etc.