Question

Zeigen Sie, dass ¯z.w¯ = ¯z · ¯w fur alle z, w ∈ Komplexe Zahlen. 

Comments

Warum stehen die hochgestellten Minus einmal vor und einmal nach den Variabeln? Bitte Darstellung im Original genauer beschreiben.

---

Sollte vermutlich so z·w = z·w gemeint sein?

---

Gut. Dann passt die Antwort von Roland.

Answer 1

Multipliziere a+bi mit c+di und bilde vom Produkt das Komplement.

Multipliziere a-bi mit c-di und vergleiche mit dem obigen Produkt.

Answer 2

Aloha :)

Schreibe \(z=x_z+iy_z\) und \(w=x_w+iy_w\) mit Real- und Imaginärteil. Damit gilt:

$$\overline{z\cdot w}=\overline{(x_z+iy_z)(x_w+iy_w)}=\overline{x_zx_w+ix_wy_z+ix_zy_w-y_zy_w}$$$$\phantom{\overline{z\cdot w}}=(x_zx_w-y_zy_w)-i(x_wy_z+x_zy_w)$$$$\overline z\cdot\overline w=(x_z-iy_z)(x_w-iy_w)=x_zx_w-ix_wy_z-ix_zy_w-y_zy_w$$$$\phantom{\overline z\cdot\overline w}=(x_zx_w-y_zy_w)-i(x_wy_z+x_zy_w)$$