Hallo, leider weiß ich nicht, wie ich die drei Teilaufgaben beweisen kann. ICh bin über jede Hilfe dankbar!
Seien (V, || · ||V ), (W, || · ||W ) reelle normierte Vektorräume und sei F : V → W eine Abbildung, so dass
||F (u) − F (v)||W · ||x − y||V = ||F (x) − F (y)||W · ||u − v||V für alle v, w, x, y ∈ V .
1. Zeige: Es existiert ein λ ≥ 0, so dass ||F (u) − F (v)||W = λ · ||u − v||V für alle u, v ∈ V .
2. Zeige: Falls λ > 0, so existiert eine isometrische Abbildung F : V → W mit F = λ .
3. Zeige: Falls F bijektiv ist, oder || · ||W die von einem Skalarprodukt 〈·〉W auf W induzierte Norm ist,
oder falls λ = 0, so ist F affin.
