Zeigen Sie, dass cos(z) 6 != 0 für alle z ∈ C \

Question

Aufgabe:

Für z ∈ C sei cos(z) := 1/2 (e^iz + e^-iz)
Zeigen Sie, dass cos(z) != 0 für alle z ∈ C \ R

Comments

cos(z) 6 != 0 für alle z ∈ C \

Finde zwei Fehler und korrigiere sie.

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cos(z) != 0 für alle z ∈ C \ R

Answer 1

\(\begin{aligned} &  & \frac{1}{2}\left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}z}+\mathrm{e}^{-\mathrm{i}z}\right) & =0\\ & \iff & \mathrm{e}^{\mathrm{i}z} & =-\mathrm{e}^{-\mathrm{i}z}\\ & \iff & \frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}z}}{\mathrm{e}^{-\mathrm{i}z}} & =-1\\ & \iff & \mathrm{e}^{2\mathrm{i}z} & =-1\\ & \iff & \mathrm{e}^{2\mathrm{i}\left(\Re(z)+\mathrm{i}\Im(z)\right)} & =-1\\ & \iff & \mathrm{e}^{2\mathrm{i}\Re(z)-2\Im(z)} & =-1\\ & \iff & \frac{1}{\mathrm{e}^{2\Im(z)}}\mathrm{e}^{2\mathrm{i}\Re(z)} & =-1\\ & \implies & \frac{1}{\mathrm{e}^{2\Im(z)}} & =1\\ & \implies & \Im(z) & =0\\ & \implies & z & \in\mathbb{R} \end{aligned}\)

Comments

Könnten Sie vielleicht erklären, wie Sie auf diesen Ansatz gekommen sind

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Kontraposition zeigen ist eine gängige Beweistechnik.

Definition anwenden ebenso.

Dann Term- und Gleichungsumformungen ausprobieren bis man was erkennt.