Question

Bestimmen sie zu w=u+iv ∈ ℂ alle z=x+iy ∈ ℂ mit z^2=w wobei x,y ∈ ℝ. In den Formeln für x,y sollen nur u,v ∈ ℝ.

Answer 1

Bestimmen sie zu w=u+iv ∈ ℂ alle z=x+iy ∈ ℂ mit z²=w

wobei x,y ∈ ℝ. In den Formeln für x,y sollen nur u,v ∈ ℝ.

 z²=w  und  z=x+iy

==>  (x+iy)² =  u+iv

==>  x²+2xyi -y² =  u+iv

==>  x² -y² +2xyi =  u+iv

==>  u = x² -y²         und  v=2xy   für  x≠0

                                   y = v/(2x)

            u = x² - v² / (4x²)

             (4x²)* u =(4x²) * x² - v² 

      (4x²)* u =(4x⁴) - v²   

            0 =(4x⁴)  - 4ux² - v²   

           0 =(4x⁴)  - 4ux²  +u² - u² - v²   

          0 =(2x² - u )² - u² - v²       

         u² + v²        =(2x² - u )²

      ±√( u² + v² ) = 2x² - u

      u ±√( u² + v² ) = 2x² 

      ( u ±√( u² + v² )) / 2  = x²    #

         Da für v≠0 immer √( u² + v² ) > |u| 

      ist in dem Fall  u - √( u² + v² ) immer negativ, so dass

es kein reelles x gibt, das  # erfüllt. Deshalb bleibt nur 

   ( u  + √( u² + v² )) / 2  = x² 

also   x = ±√ (   ( u  + √( u² + v² )) / 2  )  = ±√ (2(u + √(u² + v²) ))  /2

und mit y = v/(2x) bekommt du das y.