Ist dist(A, x) > 0, dann gibt es eine Umgebung um x, in der außer x keine weiteren Punkt von A liegen. x ist also kein Häufungspunkt von A. Wegen dist(A, x) > 0 ist außerdem x∉A. Zusammen ist x∉A̅.
Ist dist(A, x) = 0, dann ist x∉A oder es gibt für jedes ε>0 ein a∈A mit dist(a, x) < ε, was laut Defnition bedeutet, dass x Häufungspunkt von A ist. In beiden Fällen ist x∈A̅.