Zeigen Sie, dass ein Punkt x ∈ X genau dann im Abschluss A von A liegt, wenn dist(A, x) = 0 gilt

Question

Ich komm bei folgender Aufgabe nicht weiter. Mir fällt schon der Anfang schwer, also wie ich überhaupt anfangen soll.

Comments

Wie ist dist genau definiert? Wie ist Abschluss genau definiert? (Mit diesen Definitionen arbeiten).

Damit dann:

Es muss sich in A eine Folge a_n konstruieren lassen, die gegen x konvergiert. D.h. man sollte für dist(a_n, x) < 1/n immer ein a_n finden.

Answer 1

Ist dist(A, x) > 0, dann gibt es eine Umgebung um x, in der außer x keine weiteren Punkt von A liegen. x ist also kein Häufungspunkt von A. Wegen dist(A, x) > 0 ist außerdem x∉A. Zusammen ist x∉A̅.

Ist dist(A, x) = 0, dann ist x∉A oder es gibt für jedes ε>0 ein a∈A mit dist(a, x) < ε, was laut Defnition bedeutet, dass x Häufungspunkt von A ist. In beiden Fällen ist x∈A̅.