(a) Seien \( a_{ n} \) und \( b _{ n} \) Folgen mit
\(\begin{aligned} \lim_{n \to\infty} d( a_{ n} , b_{ n} ) = \inf_{ } \{ d( a, b) \mid a \in A,\: b \in B\} \end{aligned}\)
(die existieren per Definition des Infimums). Nun hat \( a_{ n} \) als Folge im kompakten Raum \( A\) eine konvergente Teilfolge \( a_{ n_{ k} }\to a \), deren Grenzwert
ebenfalls in \( A\) liegt. Nehmen wir jetzt also mal an, es gelte \( \text{dist}( A, B) = 0\) also \( \lim_{n \to\infty} d( a_{ n} , b_{ n} ) = 0\). Dann muss für die
Teilfolge \( b_{ n_{ k} } \) (mit den gleichen Indices wie \( a_{ n_{ k} } \)) gelten, dass \( \lim_{k \to\infty} b_{ n_{ k} } = a\) (warum?), was aber nicht möglich ist, da wegen Abgeschlossenheit von \( B\)
somit \( a \in B\) gelten müsste, jedoch ist \( A\cap B= \varnothing \). Ein Widerspruch.
Hier noch das obige "warum?" begründet:
Mittels Dreiecksungleichung folgt
\(\begin{aligned} 0\leqslant d(a, b_{ n_{ k} } ) \leqslant d( a, a_{ n_{ k} } ) + d( a_{ n_{ k} }, b_{ n_{ k} } ) \end{aligned}\)
und lässt man nun \( k\to \infty \) so folgt mittels Sandwich-Kriterium, dass auch \( \lim_{k \to\infty} d( a, b_{ n_{ k} } ) = 0\) gilt.
(b) Das kannst du nun selbst versuchen, an dem obigen Beweis kannst du vielleicht erkennen, was schief läuft, wenn \( A\) nicht mehr kompakt, sondern lediglich abgeschlossen ist.
