Bestimme Rand, Abschluss, Inneres der Teilmenge

Question

Betrachte X = [0,1] ∪ (2,4) und die Standardmetrik auf R

C = {1/n , n∈N_≥1} (C ⊆ X )

Bestimme Rand, Abschluss, Inneres. Ist C abgeschlossen?

Meine Gedanken:

Inneres ist leer, Abschluss ist C und Rand C\{1}

C ist nicht abgeschlossen.

Ich bin mir vor allem unsicher beim Rand.

Mit der Definition: x ist Randpunkt von C wenn für jede Umgebung U(x) die Umgebung min. einen Punkt mit X und X^c (Komplement) gemeinsam hat. Wenn ich "ein winziges Stück neben 1 schaue" dann gibt es keinen gemeinsamen Punkt der Umgebung mit dem Komplement X^c.

Vielen Dank.

Comments

Mit der Definition: x ist Randpunkt von C wenn für jede Umgebung U(x) die Umgebung min. einen Punkt mit \(X\) und \(X^c\) (Komplement) gemeinsam hat.

Das ist nicht richtig.
Es muss lauten:
Mit der Definition: x ist Randpunkt von C wenn für jede Umgebung U(x) die Umgebung
mindestens einen Punkt mit \(C\) und \(C^c\) (Komplement)
gemeinsam hat, also
\(U(x)\cap C\neq \emptyset\) und \(U(x)\cap (X\backslash C)\neq \emptyset\) ist.
Du willst doch nicht den Rand von \(X\) bestimmen.

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Du hast Recht, Fehler meinerseits, ich ändere das.

Answer 1

Das Innere ist leer. Das ist korrekt.

Der Abschluss ist \(C\cup\{0\}\), da 0

ein Berührpunkt von \(C\) ist.

Der Rand ist \(C\cup\{0\}\).

Answer 2

x ist Randpunkt von C wenn für jede Umgebung U(x) die Umgebung min. ein Punkt mit X und X^c (Komplement) gemeinsam hat.

Es muss lauten "x ist Randpunkt von X wenn ..." oder "... einen Punkt mit C und C^c (Komplement) gemeinsam ...".

keinen gemeinsamen Punkt der Umgebung mit dem Komplement X^c.

Du möchtest aber prüfen, ob \(C\) abgeschlossen ist. Also musst du prüfen ob \(U\cap C\neq \emptyset\) und \(U\cap C^\complement\neq \emptyset\) für jede Umgebung \(U\) von \(x\) ist.