Wie beweißt man diese Regeln für komplexe Zahlen?

Question

Aufgabe:

Beweisen SIe die folgende Regel für komplexe Zahlen \(z\in \mathbb{C}\setminus \{0\}\):

(a) \(\operatorname{Re}(z^{-1}) =\frac{1}{|z|^2}\cdot \operatorname{Re}(z)\)

Problem/Ansatz:

Wie löst man diese Aufgabe ?

Answer 1

Re(1 / z)

= Re(1 / (a + bi))

= Re((a - bi) / ((a + bi)(a - bi)))

= Re((a - bi) / (a^2 + b^2))

= Re(a - bi) / |z|^2

= Re(a + bi) / |z|^2

= Re(z) / |z|^2

Answer 2

Hallo :-)

Rechne doch einfach mal nach. Definiere dir dafür eine komplexe Zahl \(z\in \mathbb{C}\setminus \{0\}\) durch \(z=a+b \cdot i,\quad a,b\in \mathbb{R}\). Jetzt setzt du mal ein:

\(\operatorname{Re}\left(\frac{1}{z}\right)=\operatorname{Re}\left(\frac{1}{a+b\cdot i}\right)=\operatorname{Re}\left(\frac{a-b\cdot i}{(a+b\cdot i)\cdot (a-b\cdot i)}\right)=...\)

Nutze dabei auch die Linearität vom Operator \(\operatorname{Re}(.)\) aus.

Comments

Was sagt der Operator Re genau aus ?

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Dieser gibt dir doch nur den Realteil deiner komplexen Zahl wieder. Und dieser ist außerdem eine lineare Abbildung, genauso wie der \(\operatorname{Im}(.)\).

Answer 3

Hier mal eine weitgehend elementare Rechnung in Einzelschritten: $$ \operatorname{Re}\left(z^{-1}\right) = \operatorname{Re}\left(\dfrac{1}{z}\right) = \operatorname{Re}\left(\dfrac{1\cdot\overline{z}}{z\cdot\overline{z}}\right) = \operatorname{Re}\left(\dfrac{\overline{z}}{\left|z\right|^{2}}\right) = \dfrac{1}{\left|z\right|^{2}}\cdot\operatorname{Re}\left(\overline{z}\right) = \dfrac{1}{\left|z\right|^{2}}\cdot\operatorname{Re}\left(z\right). $$