Bestimmen Sie alle komplexen Zahlen z mit

Question

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Bestimmen Sie alle komplexen Zahlen z  mit

(a) \(z^{2}=\mathrm{i}\)
(b) \(z^{2}=-1+\mathrm{i} \sqrt{3}\)
(c) \(z^{3}=2-2 \mathrm{i}\)

Aufgabe:

Comments

Könnte ich ein Beispiel für die erste Aufgabe bekommen?

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Ja kannst du:

https://www.mathelounge.de/1092192/bestimmen-sie-alle-komplexen-zahlen-z-mit?show=1092196#a1092196

Answer 1

Man kann dazu die komplexe Zahl in Polarform in e-Notatation schreiben.

z^2 = i = e^(i·pi/2)

Jetzt ist es einfach das z zu ermitteln.

z1 = e^(i·pi/4)
z2 = e^(i·(pi/4 + pi))

Bei Bedarf kann man die Polarform nun wieder in die kartesische Form umwandeln.

z1 = e^(i·pi/4) = √2/2·(1 + i)
z2 = e^(i·(pi/4 + pi)) = - √2/2·(1 + i)

Answer 2

Und Deine Frage dazu, was ist unklar?
Stichwort: Umwandeln der rechten Seite in Polardarstellung und die Potenzgleichung lösen. Beispiele waren vermutlich in der Vorlesung.

Comments

Diese Art Antworten sind leider nicht so hilfreich. Du sagst immer wieder, dass der FS auf seine Unterlagen schauen soll bzw. mal selbst nachdenken soll. Ich glaube das weiß er schon, dass er einmal auf seine Unterlagen schauen bzw. mal selbst nachdenken kann. Anscheinend bringt es aber wohl nichts, sodass er hier trotzdem nachfragt. Deine Tipps (in dem Falle) sind dann meistens auch sehr oberflächlich und nicht tiefgreifend.

Es ist nicht böse gemeint, Du hast i.A. auch echt gute Antworten, die mir besonders auch schon geholfen haben. Ich möchte eben nur Dich auf diese Sache aufmerksam machen :)

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Danke, sehr fürsorglich, aber das habe ich bereits berücksichtigt. In Deiner Aussage ist eine Menge Spekulation. Meine Erfahrung zeigt, dass viele gar nicht in ihre Unterlagen schauen, und wie hier, einfach die Aufgabe posten. Da bekommen sie ja die Lösung serviert. Jeder, der sich Stoff erarbeiten muss, weiß wie lehrreich es ist, wenn man konkrete Fragen stellen muss. Dazu muss man nämlich sich mit der Aufgabe auseinandersetzen. Den Schritt ersparen die Lösungsvorturner dem Lernenden, schade.

Wenn Lösungen helfen würden, würde die Frage ja gar nicht kommen. Selbst wenn in den Unterlagen nichts steht (was ich bezweifle), hier im Forum und im Internet findet man dazu tausende Aufgaben vorgerechnet.

Warum Du und andere glauben, dass gerade Eure Antwort mehr bringen soll als die tausend anderen im Internet, ist mir unklar.

Und ganz krass hier: FS fragt nach einem Beispiel, bekommt aber ungefragt die Lösung, und das noch schlampig getippt.

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Das liegt daran, dass nudger hier die direkte Konversation sucht und den FS damit zur gemeinsamen Erarbeitung einer Lösung ermutigen möchte, wie man oft an seinen Diskussionen mit den FS in den Kommentaren unter seinen Antworten sieht, wenn sie sich denn darauf einlassen. Zudem möchte er erst einmal erfragen, was denn eigentlich das Problem ist, was für eine angemessene Hilfeleistung eben Grundvoraussetzung ist. Manche raten ja auch einfach aufs Blinde drauf los oder interpretieren Aufgaben dann auch noch falsch, Hauptsache geantwortet.

Für diejenigen, die nur eine schnelle Lösung, aber nicht wirklich etwas lernen wollen, sind natürlich die Antworten von MC oder Tschakabumba besser. Didaktisch klug ist das jedenfalls nicht. Gerade Studenten müssen lernen, sich mit ihren Unterlagen intensiv auseinanderzusetzen. Das tun aber die wenigsten und deswegen liest man diesen Hinweis auch immer wieder von nudger, was ich auch völlig richtig finde und wesentlich wertvoller als den Leuten die Aufgaben vorzurechnen. Zumal es zu solchen Aufgaben genügend Beispiele in der Weite des Internets gibt, aber es müssen ja direkt die eigenen Aufgaben sein, damit man sich die Arbeit erspart.

Fazit: Keine Motivation, sich mit den eigenen Unterlagen zu beschäftigen oder selbstständige Recherchen zu betreiben. Nicht einmal eigene Ideen oder Ansätze können mitgeliefert werden. Angeblich hilft das Vorrechnen eines Beispiels, damit man die anderen Aufgaben selbstständig hinbekommt, dabei gibt es tausende Beispiele im Internet, wo man sich orientieren, aber das wäre wieder mit Arbeit verbunden. Fehlende Kompetenzen, sich Kontrolllösungen mit digitalen Tools zu beschaffen usw.

Das mag nicht auf alle Leute zutreffen, aber sicherlich auf einen großen Teil derjenigen, die hier Hilfe suchen. Gerade für Studenten gebe ich folgenden Tipp: überdenkt mal eure Arbeitsweise und reflektiert ausführlich, ob ihr mit dem Studium die richtige Wahl getroffen habt.

Bevor jemand meckert: das ist überhaupt nicht persönlich oder wertend gemeint, sondern lediglich ein gut gemeinter Rat.

Und ganz krass hier: FS fragt nach einem Beispiel, bekommt aber ungefragt die Lösung, und das noch schlampig getippt.

Und Erklärungen betreffend wirklich sehr rudimentär. Aber das reicht ja offenbar für eine "beste" Antwort. Ich wäre wirklich gespannt, wie gut damit die anderen Aufgaben klappen.

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@Txman

auch sehr oberflächlich und nicht tiefgreifend.

Das weise ich entschieden zurück. Mir geht es um den Kern des Problems, um wirklich helfen zu können.
Oberflächlich ist es, ohne Kenntnis des Problems des FS einfach eine Lösung hinzuklatschen.

Wer glaubt, im Mathe-Studium (auch als Nebenfach) ist das Ziel, möglichst viele Rechenmethoden auswendig zu kennen, freut sich über fertige Lösungen. Das böse Erwachen kommt dann später. Die bösen hohen Durchfallquoten usw.

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Das man die komplette Aufgabe finde ich auch suboptimal. Das meinte ich auch bei meiner Bemerkung überhaupt nicht. Man könnte es z.B. wie bei mir machen (ohne mich jetzt als perfekt zu bezeichnen), dass man den Start grob vormacht und dem FS den grösseren Rest überlässt, denn da ist vorteilhaft, dass der FS dann schon mal eine Ahnung von der Vorgehensweise hat.

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Man könnte einfach verlinken auf eines der zig sauber getippten, mit Erklärung versehenen Beispiele im Internet. Warum das nicht?

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Hallo Txman,

wenn die Antwort von nudger gelautet hätte "Schau in deine Unterlagen und denke selbst nach." würde ich mich deiner Kritik anschließen.

In der von dir kritisierten Antwort steckt aber z.B. u.a. folgendes drin:

"Umwandeln der rechten Seite in Polardarstellung und die Potenzgleichung lösen."

Da ist aus meiner Sicht ein möglicher erster Schritt klar benannt: "Umwandeln der rechten Seite in Polardarstellung".

Da kann man als Fragesteller nun darauf eingehen, z.B. "Die rechte Seite in Polardarstellung lautet ..., aber ich kann die entstehende Gleichung ... nicht lösen." oder "Mir fehlt eine Idee, wie ich i in Polardarstellung umwandeln kann." oder "Ich kenne den Begriff Polardarstellung nicht." oder ... .

Je nachdem kann man dann gezielt auf die Probleme des Fragestellers eingehen.

Aus meiner Sicht ist das Vorgehen von nudger daher zielführend.

Viele Grüße, Tobias

Answer 3

Bei solchen Aufgabentypen geht man so vor, in dem man sich eine allgemeine konplexe Zahl hernimmt und dann mit der Voraussetzung sie zu charakterisieren. Außer jetzt bei z^3 in c) solltest du vielleicht eine andere Methode suchen. Für a) und b) geht das aber ganz gut, was ich dir jetzt vorstelle.

Ich mache das erste mal vor und du kannst dann den Rest versuchen :)

a) Sei z = a+bi eine komplexe Zahl.

Dann ist z^2 = a^2 - b^2 + 2ab*i mit Realteil Re(z^2) = a^2 - b^2 und Imaginärteil Im(z) = 2ab.

Dann soll z^2 = i = 0+1*a sein. D.h. wir setzen Re(z^2) = a^2 - b^2 = 0 und Im(z) = 2ab = 1.

Du erhältst also das Gleichungssystem

I : a^2 - b^2 = 0

II : 2ab = 1

und musst es nach a und b auflösen. Hier machst du nun eine Fallunterscheidung und löst es dann.

Comments

Bei solchen Aufgabentypen geht man so vor

Das tut man für gewöhnlich nicht.

Viel Spaß mit \(z^3\), \(z^4\) und so weiter.

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Ja für z^3 hast du Recht. Habe da erstmal z^2 gelesen. Jedoch kann man für a) und b) zumindest so vorgehen. Da ist das noch kein Hexenwerk.

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Kann man, tut man für gewöhnlich aber dennoch nicht und bei deiner Aussage "bei solchen Aufgabentypen geht man so vor" kann man eben schnell in die Irre geführt werden.

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Für z^2 geht man so vor, wenn die Polarform noch nicht bekannt ist. Also ganz, ganz, ganz am Anfang bei der Einführung der komplexen Zahlen.

In der Regel werden dann aber auch nur Gleichungen mit z^2 gelöst und nicht mit z^3 etc.

Ansonsten gilt

z^3 = (a + b·i)^3 = (a^3 - 3·a·b^2) + (3·a^2·b - b^3)·i

Aber Schüler ohne CAS machen dort öfter mal ein paar Fehler. Die vermeidet man bei Benutzung der Polardarstellung.

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Schüler arbeiten sowieso kaum noch mit komplexen Zahlen und Studenten dürfen grundsätzlich keinen Taschenrechner/CAS oder Ähnliches benutzen (ich hoffe, das ist nach wie vor noch so...). Die Stochastik-Klausur war damals die einzige Klausur, wo ein Taschenrechner benutzt werden durfte. Und auch das war nur ein einfacher WTR, völlig ausreichend.

Answer 4

\(z^2={i}\)

\(z=±\sqrt{i}\)

\(\sqrt{i}=\sqrt{\frac{2i}{2}}=\frac{1}{2}\sqrt{2}\cdot\sqrt{2i}=\frac{1}{2}\sqrt{2}\cdot\sqrt{1+2i+i^2}\\=\frac{1}{2}\sqrt{2}\cdot\sqrt{(i+1)^2}=\frac{1}{2}\sqrt{2}\cdot(i+1)\)

\(z_1=\frac{1}{2}\sqrt{2}\cdot i+\frac{1}{2}\sqrt{2}\)

\(z_2=-\frac{1}{2}\sqrt{2}\cdot i-\frac{1}{2}\sqrt{2}\)

Comments

Immer wieder dasselbe: \(\sqrt{i}\) ist nicht definiert.

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hä wurzel i ist doch einfach i hoch 1/2. wieso ist das nicht definiert ?

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Wie möchtest du denn \(i^{\frac12}\) definieren? Ich kenne keine entsprechende Definition...

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Immer wieder dasselbe: \(\sqrt{i}\) ist nicht definiert.

Schau mal hier: von Der_Mathecoach

z1 = e^(i·pi/4) = √2/2·(1 + i)
z2 = e^(i·(pi/4 + pi)) = - √2/2·(1 + i)

Und hier:

Und hier:

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Der Mathecoach hat in seiner Antwort nirgendwo den Ausdruck \(\sqrt{i}\) verwendet, auch Wolfram-alpha nicht.

Chat GPT widerspricht sich selbst: \(\sqrt{i}\) hat demzufolge mal einen positiven Real- und Imaginärteil, mal negative Real- und Imaginärteile.

@Moliets: Wie ist denn deiner Meinung nach \(\sqrt{i}\) definiert? Soll das eine komplexe Zahl sein? Wenn ja: Hat sie positiven oder negativen Realteil?

Und du benutzt ja weitere Quadratwurzeln komplexer Zahlen mit nicht verschwindendem Imaginärteil. Wie lautet deine allgemeine Definition DER Quadratwurzel einer komplexen Zahl?

Was niemand bestreitet, ist dass i (genau wie jede andere von 0 verschiedene komplexe Zahl) zwei komplexe Quadratwurzeln besitzt; das Problem ist von DER Wurzel von i zu sprechen, ohne zu definieren, welche Quadratwurzel das sein soll.

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Danke, tobit, es ist mühselig, das immer wieder zu erklären (und immer wieder denselben Leuten). Aber auch ein schönes Beispiel, dass mc's Notation doch nicht so eindeutig zu lesen ist, wie er immer meint.

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Hinzu kommt, dass nicht nur eine Definition für die "komplexe Wurzel" fehlt, sondern auch der Nachweis, ob die Wurzelgesetze in dieser Form überhaupt anwendbar sind, wie für positive reelle Radikanden.

Nur weil hier eine Rechnung "aufgeht", heißt das noch lange nicht, dass hier eine Allgemeingültigkeit vorliegt. Man sollte sich an dieser Rechnung jedenfalls kein Beispiel nehmen.

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warum muss man so hinterwäldlerisch sein?! wurzel i ist definiert und zwar mit potenz Ein Halb

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@Paul S Ich wiederhole mich: Wie möchtest du denn die Potenz einer komplexen Zahl mit Exponent \(\frac12\) definieren? Wenn dir das nicht gelingt, erübrigt sich jede weitere Diskussion über \(i^{\frac12}\). Selbst wenn du eine halbwegs sinnvolle Definition finden solltest, muss jedes aus dem reellen bekannte Rechengesetz vor Anwendung daraufhin geprüft werden, ob es auch im Komplexen gilt. Darauf hat Apfelmännchen völlig zurecht hingewiesen. Was an diesen Einwänden hinterwäldlerisch sein soll, verstehe ich nicht.

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eeinfach nur kindisch. probleme suchn wo keine sind. auch noch altmodisch sein, denn nicht offen für neuess sein ist hinterwäldlerisch!!!!!!!!!

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Das nennt man Mathematik und hat mit kindisch nichts zu tun. Kindisch ist eher dein Verhalten. Warum gehst du denn jeder fachlichen Frage aus dem Weg, wenn du es so gut weißt?

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Hallo Paul.

Mathematisch ist nicht mal √(-1) definiert.

Unter der Wurzel aus einer (nicht negativen) reellen Zahl, verstehen wir die reelle Zahl, die mit sich selbst multipliziert, die Zahl unter der Wurzel ergibt.

Die Wurzel aus 4 ist demnach 2 und damit eindeutig festgelegt.

Die Mathematiker haben allerdings vergessen, die Wurzel aus negativen Zahlen zu definieren.

Das hindert aber viele und auch Wolframalpha nicht damit trotzdem zu rechnen.

Auch die Wurzel aus einer komplexen Zahl ist streng genommen noch nicht definiert. Auch hier rechnen trotzdem viele einfach damit

Von höheren Wurzeln mal komplett abgesehen.

Wie sollte man deiner Meinung nach die 8. Wurzel aus i anständig definieren.

z^8 = i
z = i^{1/8} = \( \sqrt[8]{i} \)

Du weißt das es eigentlich 8 komplexe Zahlen gibt, die Lösung der Gleichung z^8 = i sind. Man könnte natürlich sagen wir nehmen dann die komplexe Zahl, die den kleinsten Winkel in der Polardarstellung hat und die anderen Werte ergeben sich dann durch Drehung in der komplexen Ebene.

Aber das müsste man dann ja noch irgendwie bei der Wurzel anmerken, welche Lösung der acht wir jetzt genau meinen. Über ein einfaches ±, wie bei den Wurzeln aus den positiven reellen Zahlen ist dies ja nicht möglich.

Daher ist es zunächst für Mathematiker strikt verboten, eine Wurzel aus etwas anderem als den nicht-negativen reellen Zahlen zu ziehen.

Wie gesagt lassen sich einige Nicht-Mathematiker davon nicht aufhalten und ziehen trotzdem die Wurzeln aus negativen und komplexen Zahlen.

Und vielleicht wird ja auch die Wurzel aus einer komplexen Zahl irgendwann mal von den Mathematikern genau definiert. Aber solange das nicht passiert benutzen die Mathematiker solche Wurzeln eben nicht.

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aber mein prof hat gesagtt das wurzel aus -1 gleich i ist? er hat auch den ring Z[i[ so definiert mit i=wurzel-1

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Vielleicht hat der Prof gesagt, dass i EINE Wurzel von -1 ist. Ansonsten kannst du ihn ja nach seiner verwendeten Wurzel-Definition fragen...

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Man definiert \(\mathrm{i^2}\,:\!=-1\). Hier wird also die imaginäre Einheit definiert, nicht jedoch die Wurzel aus einer negativen Zahl. Einige verwenden dann auch die Formulierung \(\mathrm{i}=\sqrt{-1}\). Damit muss man aber aus den genannten Gründen vorsichtig sein, denn die Wurzelgesetze gelten dann nicht mehr.

Und selbst wenn, so wäre das erst einmal die Wurzel aus negativen Zahlen, womit noch immer unklar ist, wie man die Wurzel aus komplexen Zahlen definiert.

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Hallo Paul. Ja viele Profs definieren das einfach so in ihrer Vorlesung. Gerade in technischen Studiengängen wird das oft so gehandhabt.

Mathematiker sind da etwas strenger.

Daher hat Wikipedia auch einen Abschnitt zu Wurzeln aus komplexen Zahlen, wie sie oft von Nicht-Mathematikern benutzt werden.

https://de.wikipedia.org/wiki/Wurzel_(Mathematik)#Wurzeln_aus_komplexen_Zahlen

Meiner Meinung nach sollten Ansichten anderer hier auf der Plattform respektiert werden.

Es gehört sich nicht, andere wegen anderer Ansichten zu kritisieren.

Mathematiker müssen allerdings sehr streng sein, um evtl. Konflikte mit anderen Definitionen zu vermeiden.

So weißt du, dass Potenzgesetze nur für positive Basen gelten. Auch das, um Konflikte zu vermeiden.

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Potenzgesetze auch nur für positive Basen definiert sind

Gesetze werden nicht definiert.

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Gesetze werden nicht definiert.

Danke. Ich habe es korrigiert.