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Text erkannt:

Bestimmen Sie alle komplexen Zahlen z  mit

(a) \(z^{2}=\mathrm{i}\)
(b) \(z^{2}=-1+\mathrm{i} \sqrt{3}\)
(c) \(z^{3}=2-2 \mathrm{i}\)

Aufgabe:

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Könnte ich ein Beispiel für die erste Aufgabe bekommen?

4 Antworten

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Beste Antwort

Man kann dazu die komplexe Zahl in Polarform in e-Notatation schreiben.

z^2 = i = e^(i·pi/2)

Jetzt ist es einfach das z zu ermitteln.

z1 = e^(i·pi/4)
z2 = e^(i·(pi/4 + pi))

Bei Bedarf kann man die Polarform nun wieder in die kartesische Form umwandeln.

z1 = e^(i·pi/4) = √2/2·(1 + i)
z2 = e^(i·(pi/4 + pi)) = - √2/2·(1 + i)

Avatar vor von 487 k 🚀
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Und Deine Frage dazu, was ist unklar?
Stichwort: Umwandeln der rechten Seite in Polardarstellung und die Potenzgleichung lösen. Beispiele waren vermutlich in der Vorlesung.

Avatar vor von 9,7 k

Diese Art Antworten sind leider nicht so hilfreich. Du sagst immer wieder, dass der FS auf seine Unterlagen schauen soll bzw. mal selbst nachdenken soll. Ich glaube das weiß er schon, dass er einmal auf seine Unterlagen schauen bzw. mal selbst nachdenken kann. Anscheinend bringt es aber wohl nichts, sodass er hier trotzdem nachfragt. Deine Tipps (in dem Falle) sind dann meistens auch sehr oberflächlich und nicht tiefgreifend.

Es ist nicht böse gemeint, Du hast i.A. auch echt gute Antworten, die mir besonders auch schon geholfen haben. Ich möchte eben nur Dich auf diese Sache aufmerksam machen :)

Danke, sehr fürsorglich, aber das habe ich bereits berücksichtigt. In Deiner Aussage ist eine Menge Spekulation. Meine Erfahrung zeigt, dass viele gar nicht in ihre Unterlagen schauen, und wie hier, einfach die Aufgabe posten. Da bekommen sie ja die Lösung serviert. Jeder, der sich Stoff erarbeiten muss, weiß wie lehrreich es ist, wenn man konkrete Fragen stellen muss. Dazu muss man nämlich sich mit der Aufgabe auseinandersetzen. Den Schritt ersparen die Lösungsvorturner dem Lernenden, schade.

Wenn Lösungen helfen würden, würde die Frage ja gar nicht kommen. Selbst wenn in den Unterlagen nichts steht (was ich bezweifle), hier im Forum und im Internet findet man dazu tausende Aufgaben vorgerechnet.

Warum Du und andere glauben, dass gerade Eure Antwort mehr bringen soll als die tausend anderen im Internet, ist mir unklar.

Und ganz krass hier: FS fragt nach einem Beispiel, bekommt aber ungefragt die Lösung, und das noch schlampig getippt.

Das liegt daran, dass nudger hier die direkte Konversation sucht und den FS damit zur gemeinsamen Erarbeitung einer Lösung ermutigen möchte, wie man oft an seinen Diskussionen mit den FS in den Kommentaren unter seinen Antworten sieht, wenn sie sich denn darauf einlassen. Zudem möchte er erst einmal erfragen, was denn eigentlich das Problem ist, was für eine angemessene Hilfeleistung eben Grundvoraussetzung ist. Manche raten ja auch einfach aufs Blinde drauf los oder interpretieren Aufgaben dann auch noch falsch, Hauptsache geantwortet.

Für diejenigen, die nur eine schnelle Lösung, aber nicht wirklich etwas lernen wollen, sind natürlich die Antworten von MC oder Tschakabumba besser. Didaktisch klug ist das jedenfalls nicht. Gerade Studenten müssen lernen, sich mit ihren Unterlagen intensiv auseinanderzusetzen. Das tun aber die wenigsten und deswegen liest man diesen Hinweis auch immer wieder von nudger, was ich auch völlig richtig finde und wesentlich wertvoller als den Leuten die Aufgaben vorzurechnen. Zumal es zu solchen Aufgaben genügend Beispiele in der Weite des Internets gibt, aber es müssen ja direkt die eigenen Aufgaben sein, damit man sich die Arbeit erspart.

Fazit: Keine Motivation, sich mit den eigenen Unterlagen zu beschäftigen oder selbstständige Recherchen zu betreiben. Nicht einmal eigene Ideen oder Ansätze können mitgeliefert werden. Angeblich hilft das Vorrechnen eines Beispiels, damit man die anderen Aufgaben selbstständig hinbekommt, dabei gibt es tausende Beispiele im Internet, wo man sich orientieren, aber das wäre wieder mit Arbeit verbunden. Fehlende Kompetenzen, sich Kontrolllösungen mit digitalen Tools zu beschaffen usw.

Das mag nicht auf alle Leute zutreffen, aber sicherlich auf einen großen Teil derjenigen, die hier Hilfe suchen. Gerade für Studenten gebe ich folgenden Tipp: überdenkt mal eure Arbeitsweise und reflektiert ausführlich, ob ihr mit dem Studium die richtige Wahl getroffen habt.

Bevor jemand meckert: das ist überhaupt nicht persönlich oder wertend gemeint, sondern lediglich ein gut gemeinter Rat.


Und ganz krass hier: FS fragt nach einem Beispiel, bekommt aber ungefragt die Lösung, und das noch schlampig getippt.

Und Erklärungen betreffend wirklich sehr rudimentär. Aber das reicht ja offenbar für eine "beste" Antwort. Ich wäre wirklich gespannt, wie gut damit die anderen Aufgaben klappen.

@Txman

auch sehr oberflächlich und nicht tiefgreifend.

Das weise ich entschieden zurück. Mir geht es um den Kern des Problems, um wirklich helfen zu können.
Oberflächlich ist es, ohne Kenntnis des Problems des FS einfach eine Lösung hinzuklatschen.

Wer glaubt, im Mathe-Studium (auch als Nebenfach) ist das Ziel, möglichst viele Rechenmethoden auswendig zu kennen, freut sich über fertige Lösungen. Das böse Erwachen kommt dann später. Die bösen hohen Durchfallquoten usw.

Das man die komplette Aufgabe finde ich auch suboptimal. Das meinte ich auch bei meiner Bemerkung überhaupt nicht. Man könnte es z.B. wie bei mir machen (ohne mich jetzt als perfekt zu bezeichnen), dass man den Start grob vormacht und dem FS den grösseren Rest überlässt, denn da ist vorteilhaft, dass der FS dann schon mal eine Ahnung von der Vorgehensweise hat.

Man könnte einfach verlinken auf eines der zig sauber getippten, mit Erklärung versehenen Beispiele im Internet. Warum das nicht?

Hallo Txman,

wenn die Antwort von nudger gelautet hätte "Schau in deine Unterlagen und denke selbst nach." würde ich mich deiner Kritik anschließen.

In der von dir kritisierten Antwort steckt aber z.B. u.a. folgendes drin:

"Umwandeln der rechten Seite in Polardarstellung und die Potenzgleichung lösen."

Da ist aus meiner Sicht ein möglicher erster Schritt klar benannt: "Umwandeln der rechten Seite in Polardarstellung".

Da kann man als Fragesteller nun darauf eingehen, z.B. "Die rechte Seite in Polardarstellung lautet ..., aber ich kann die entstehende Gleichung ... nicht lösen." oder "Mir fehlt eine Idee, wie ich i in Polardarstellung umwandeln kann." oder "Ich kenne den Begriff Polardarstellung nicht." oder ... .

Je nachdem kann man dann gezielt auf die Probleme des Fragestellers eingehen.

Aus meiner Sicht ist das Vorgehen von nudger daher zielführend.

Viele Grüße, Tobias

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Bei solchen Aufgabentypen geht man so vor, in dem man sich eine allgemeine konplexe Zahl hernimmt und dann mit der Voraussetzung sie zu charakterisieren. Außer jetzt bei z^3 in c) solltest du vielleicht eine andere Methode suchen. Für a) und b) geht das aber ganz gut, was ich dir jetzt vorstelle.

Ich mache das erste mal vor und du kannst dann den Rest versuchen :)

a) Sei z = a+bi eine komplexe Zahl.

Dann ist z^2 = a^2 - b^2 + 2ab*i mit Realteil Re(z^2) = a^2 - b^2 und Imaginärteil Im(z) = 2ab.

Dann soll z^2 = i = 0+1*a sein. D.h. wir setzen Re(z^2) = a^2 - b^2 = 0 und Im(z) = 2ab = 1.

Du erhältst also das Gleichungssystem

I : a^2 - b^2 = 0

II : 2ab = 1

und musst es nach a und b auflösen. Hier machst du nun eine Fallunterscheidung und löst es dann.

Avatar vor von 1,6 k
Bei solchen Aufgabentypen geht man so vor

Das tut man für gewöhnlich nicht.

Viel Spaß mit \(z^3\), \(z^4\) und so weiter.

Ja für z^3 hast du Recht. Habe da erstmal z^2 gelesen. Jedoch kann man für a) und b) zumindest so vorgehen. Da ist das noch kein Hexenwerk.

Kann man, tut man für gewöhnlich aber dennoch nicht und bei deiner Aussage "bei solchen Aufgabentypen geht man so vor" kann man eben schnell in die Irre geführt werden.

Für z^2 geht man so vor, wenn die Polarform noch nicht bekannt ist. Also ganz, ganz, ganz am Anfang bei der Einführung der komplexen Zahlen.

In der Regel werden dann aber auch nur Gleichungen mit z^2 gelöst und nicht mit z^3 etc.

Ansonsten gilt

z^3 = (a + b·i)^3 = (a^3 - 3·a·b^2) + (3·a^2·b - b^3)·i

Aber Schüler ohne CAS machen dort öfter mal ein paar Fehler. Die vermeidet man bei Benutzung der Polardarstellung.

Schüler arbeiten sowieso kaum noch mit komplexen Zahlen und Studenten dürfen grundsätzlich keinen Taschenrechner/CAS oder Ähnliches benutzen (ich hoffe, das ist nach wie vor noch so...). Die Stochastik-Klausur war damals die einzige Klausur, wo ein Taschenrechner benutzt werden durfte. Und auch das war nur ein einfacher WTR, völlig ausreichend.

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\(z^2={i}\)

\(z=±\sqrt{i}\)

\(\sqrt{i}=\sqrt{\frac{2i}{2}}=\frac{1}{2}\sqrt{2}\cdot\sqrt{2i}=\frac{1}{2}\sqrt{2}\cdot\sqrt{1+2i+i^2}\\=\frac{1}{2}\sqrt{2}\cdot\sqrt{(i+1)^2}=\frac{1}{2}\sqrt{2}\cdot(i+1)\)

\(z_1=\frac{1}{2}\sqrt{2}\cdot i+\frac{1}{2}\sqrt{2}\)

\(z_2=-\frac{1}{2}\sqrt{2}\cdot i-\frac{1}{2}\sqrt{2}\)

Avatar vor von 40 k

Immer wieder dasselbe: \(\sqrt{i}\) ist nicht definiert.

hä wurzel i ist doch einfach i hoch 1/2. wieso ist das nicht definiert ?

Wie möchtest du denn \(i^{\frac12}\) definieren? Ich kenne keine entsprechende Definition...

Immer wieder dasselbe: \(\sqrt{i}\) ist nicht definiert.

Schau mal hier: von Der_Mathecoach

z1 = e^(i·pi/4) = √2/2·(1 + i)
z2 = e^(i·(pi/4 + pi)) = - √2/2·(1 + i)

Und hier:

Unbenannt.JPG

Und hier:

blob.png

Der Mathecoach hat in seiner Antwort nirgendwo den Ausdruck \(\sqrt{i}\) verwendet, auch Wolfram-alpha nicht.

Chat GPT widerspricht sich selbst: \(\sqrt{i}\) hat demzufolge mal einen positiven Real- und Imaginärteil, mal negative Real- und Imaginärteile.

@Moliets: Wie ist denn deiner Meinung nach \(\sqrt{i}\) definiert? Soll das eine komplexe Zahl sein? Wenn ja: Hat sie positiven oder negativen Realteil?

Und du benutzt ja weitere Quadratwurzeln komplexer Zahlen mit nicht verschwindendem Imaginärteil. Wie lautet deine allgemeine Definition DER Quadratwurzel einer komplexen Zahl?

Was niemand bestreitet, ist dass i (genau wie jede andere von 0 verschiedene komplexe Zahl) zwei komplexe Quadratwurzeln besitzt; das Problem ist von DER Wurzel von i zu sprechen, ohne zu definieren, welche Quadratwurzel das sein soll.

Danke, tobit, es ist mühselig, das immer wieder zu erklären (und immer wieder denselben Leuten). Aber auch ein schönes Beispiel, dass mc's Notation doch nicht so eindeutig zu lesen ist, wie er immer meint.

Hinzu kommt, dass nicht nur eine Definition für die "komplexe Wurzel" fehlt, sondern auch der Nachweis, ob die Wurzelgesetze in dieser Form überhaupt anwendbar sind, wie für positive reelle Radikanden.

Nur weil hier eine Rechnung "aufgeht", heißt das noch lange nicht, dass hier eine Allgemeingültigkeit vorliegt. Man sollte sich an dieser Rechnung jedenfalls kein Beispiel nehmen.

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