Wie kommt man auf e^2 (Nachweisen von Monotonie)

Question

 Wie kommt man bei d(2) auf e^2x, nur weil man beide Funktionen dividiert und wie würdet ihr vorgehen, um die Monotomie nachzuweisen?

Comments

Ermittelt ihr alle auch so den Beweis?????(an alle gerichtet)

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Es gibt inzwischen zwei Antworten zu verschiedenen Teilen der Frage. Bitte formuliere präzieser, was deine Frage ist.

Umformen von Ungleichungen ?

Um welche Ungleichung geht es denn genau?

EDIT: Scheint hier weiter zu gehen:

https://www.mathelounge.de/461979/e-funktion-konnt-ihr-mir-bei-einer-aufgabe-helfen-funktion-x 

Answer 1

betrachte die erste Ableitung.

I'(u)=u*(e^u - e^{-u})>0

e^u-e^{-u}>0

e^u >e^{-u}

u>-u

2u>0

u>0

Comments

aber das steht so nicht in den lösungen und wieso darf man das so machen?

Verstößt das nicht gegen Potenzgesetze..

Und wie würdest du das machen?

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Nein das verstößt nicht gegen Potenzgestze, denn ich habe gar keines verwendet.

Wie würde ich das machen? So wie es hier oben steht ^

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Würdest du es wirklich so machen, selbst , wenn die Lösungen gar nicht gegeben wären

Und würdest du es so aufschreiben oder nur das, wie es in der Lösung steht?

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Die Musterlösung zu Aufgabe d 3) ist in den Bildern oben nicht wiedergegeben, von daher weiß ich nicht was du meinst. Aufschreiben würde ich es genauso wie ich es oben getan habe. Damit ist die Monotonie nachgewiesen.

Falls es dir an d2) am e^2 scheitert, da wurde einfach nur die Gleichung

(x+1)e^x>(x-1)e^{-x} auf beiden Seiten mit e^x multipliziert.

Das hat aber nichts mit der Monotonie zu tun.

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Ich meinte d 2

Answer 2

Hallo user18697! :-)

d) (2)

$$ (x+1)e^x > (x-1)e^{-x} \ \ \ | \cdot \frac{1}{(x+1)e^{-x}}   \\\frac{e^x }{e^{-x}} > \frac{x-1 }{x+1} \\e^{2x} >  \frac{x-1 }{x+1}$$

d) (3)

Zu zeigen ist, dass \( I'(u) > 0 \) für alle \( u > 0 \) gilt.

$$I'(u) = e^u + e^{-u} + u(e^u - e^{-u}) $$

\( u \) ist nach Voraussetzung positiv, \(  e^u \) und \( e^{-u}  \) sind von Haus aus sowieso positiv für alle \( u  \in \mathbb{R} \).
Auch  \( (e^u - e^{-u}) \) ist positiv, denn für alle \(  u > 0 \) ist \( e^u > e^{-u} \). Weil \( I '(u) \) nur aus positiven Termen besteht, die addiert werden, gilt  \( I'(u) > 0 \) für alle \( u > 0 \) und daraus folgt, dass \( I  \) für alle \( u > 0 \) streng monoton steigend ist.

Beste Grüße

gorgar

Comments

wieso * 1/(x+1)e^-x , da kommt doch nicht e^x/e^-x raus , oder?

Bitte erklär mir das :)

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Ja, das kommt dabei raus. Wegen \( x \geq 0\) ist \( (x+1)e^{-x} \) positiv und man kann beide Seiten der Ungleichung  durch \( (x+1)e^{-x} \) teilen, ohne das sich das Ungleichheitszeichen umdreht. Durch  \( (x+1)e^{-x} \) zu teilen entspricht einer Multiplikation mit \( \frac{1}{(x+1)e^{-x}} \)

Dann kürzt sich einiges heraus: