Monotonie Verhalten nachweisen

Question

Aufgabe:

Weise rechnerisch die Monotonie von

n+3/3n-1

nach

Problem/Ansatz:

man sieht ja dass es monoton fallend ist und ich komme da auch rechnerisch drauf - da am Ende -10/3n+2*3n-1 rauskommt, was zeigt das (an+1)-an<0 ist. Aber ich würde mich sehr freuen, da ich mir noch relativ unsicher bin, wenn jemand dies überprüfen könnte.

Ob also bei Ihnen auch -10/3n+2*3n-1 als Endgleichung rauskommt.

Comments

Da fehlen Klammern.

Answer 1

Aloha :)

Du kannst den Folgen-Term so umformen, dass man die Monotonie direkt erkennt:$$a_n=\frac{n+3}{3n-1}=\frac{\frac13(3n+9)}{3n-1}=\frac13\cdot\frac{(3n-1)+10}{3n-1}=\frac13\left(1+\frac{10}{3n-1}\right)$$Der Nenner wird mit zunehmendem \(n\) immer größer, also wird der Bruch kleiner, die Folge fällt streng monoton.

Oder du bildest einfach die Differenz benachbarter Folgendlieder und bestimmst das Vorzeichen:

$$a_{n+1}-a_n=\frac{(n+1)+3}{3(n+1)-1}-\frac{n+3}{3n-1}=\frac{n+4}{3n+2}-\frac{n+3}{3n-1}$$$$\phantom{a_{n+1}-a_n}=\frac{(n+4)(3n-1)-(n+3)(3n+2)}{(3n+2)(3n-1)}$$$$\phantom{a_{n+1}-a_n}=\frac{(3n^2+12n-n-4)-(3n^2+9n+2n+6)}{(3n+2)(3n-1)}$$$$\phantom{a_{n+1}-a_n}=-\frac{10}{(3n+2)(3n-1)}<0$$Damit hast du explizit gezeigt, dass \(a_{n+1}<a_n\) ist.

Comments

Vielen Dank :-)!

also stimmt meine Lösung mit =

-10/3n+2*3n-1 < 0

:-)?

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Ja, bei dir passt alles. Dass der Nenner positiv ist, sollte klar sein, weil ja beide Faktoren, \((3n+2)\) und \((3n-1)\), positiv sind.

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Oke, super-freue ich mich. Ja ist Klar. Vielen Dank :-)!

lg

Answer 2

Hallo
was soll monoton fallend sein? die folge an=(n+3)/(3n-1) d.h. an+1<an?
das kannst du zeigen entweder mit an/an+1>1 oder an-an+1>=0
Was du "Endgleichung" nennst ist keine und  mangels Klammern so wenig lesbar wie die eigentliche Definition von an
Versuche deine posts so zu lesen, als kenntest du die Aufgabe nicht -wie wir-und zeig deine eigentliche Rechnung.
Dein Ausdruck (da steht keine Gleichung) auf jeden Fall kommt bei mir nicht vor , aber ich kenn ka auch die richtige Formel nicht sicher.

Comments

an+1-an grösser 0 sein. Um zu zeigen das an=n+3/3n-1 monotonfallend ist. Setzt man die reihenglieder 1,2,3 für n ein sieht man das an immer kleiner je grösser die Reihe wird, wird. Also Vermutung an+1-an<0

Das muss man rechnerisch zeigen, idem man an+1-an rechnet. Also (n+4/3n+2)-(n+3/3n-1). Da muss man die Gleichungen erstmal auf den gleichen nenner bringen und dann zusammenfassen. Dadurch komme ich auf an+1-an=-10/3n+2*3n-1. Setzt man jetzt wieder die Reihenglieder 1bis3 ein sieht man dass die Gleichung etwas das immer kleiner 0 ist auspuckt. Allerdings kann das auch zufällig sein, deswegen bräuchte ich jemand der die Gleichung auch noch ein Mal rechnet um hoffentlich auf dasselbe wie ich zu kommen

Können Sie mir jetzt helfen :)?

lg

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Quasi einfach

n+4/3n+2 - n+3/3n-1 rechnen und dann sagen ob Sie im Nenner auf -10 kommen, das würde schon reichen.

lg

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Hallo

leider sind dein Gleichungen weiterhin nicht lesbar! wenn du den / Bruchstrich benutzt muss Zähler und Nenner in Klammern  um (n+4/3n+2)= n +4/3*n +2 von (n+4)/(3n+2) zu unterscheiden.

also was genau ist -10/3n+2*3n-1. normalerweise liest man das als -10/3*n+6n-1

und ich hab keine Ahnung wie man aus der Differenz der Brüche darauf kommt?  wo blieb der Nenner? wo die n^2  die beim erstellen des HN entstehen.

einsetzen für ein paar n reicht nie, man muss - wenn man umgeformt hat zeigen, dass das für alle n gilt,  für die Formel von dir  wie ich sie lese gilt das nicht.

Also zeig deinen Rechenweg und setze wirklich deutliche Klammern.

(ich denke es ist einfacher an/an+1>1 zu zeigen aber dein Weg ist im Prinzip auch richtig.)

lul