Bestimmung der ersten beiden Minima einer Sinusfunktion

Question

Hi, ich soll diesmal von der Funktion y= 40*sin(5t)*e^-3t die ersten beiden Minima herausbekommen.
Wie im Bild zu erkennen, komme ich nicht einmal auf das erste Extremum bei T_E1.

- Habe die erste Ableitung gebildet und Null gesetzt.
- Die nächste Nullstelle müsste dann ja bei (π/2)+kπ sein. Wo muss ich das dann bei der Formel genau einsetzen?

Answer 1

Habe die erste Ableitung gebildet und Null gesetzt. Das ist richtig und auch gelungen.
- Die nächste Nullstelle müsste dann ja bei (π/2)+kπ sein. Das ist falsch.

tan(5t) =5/3 git für 5t=1,0303±kπ. Also t=(1,0303±kπ)/5

Da sind Maxima und Minima dabei. Du musst also noch in die 2.Ableitung einsetzen.

Answer 2

y= 40*sin(5t)*e^-3t

y ´ = 40 * [ cos(5t) * 5 * e^{-3t} - sin(5t) * e^{-3t} * 3 ]

y ´ = 40 * e^{-3t} [ 5 *cos(5t)   - 3 * sin(5t)  ]

y ´ = 40 * e^{-3t} [ 5 *cos(5t)   - 3 * sin(5t)  ] = 0
5 *cos(5t) * 5  - 3 * sin(5t)  = 0
5 *cos(5t) * 5  = 3 * sin(5t) 

3 * sin(5t)  =  5 *cos(5t)
sin(5t)  / cos(5t) = 5/3
tan(5t) = 5/3
5t = arctan (5/3)
t = 0.206

Unglücklichsterweise ist das Ergebnis zwar eine
Extremstelle aber ein Hochpunkt.

Das erste Minimum liegt bei ca x = -0.44.

Ich hoffe, ich habe dir trotzdem etwas weiterhelfen
können.

Answer 3

Erstens ist zu klären was bedeutet "die ersten Minima". Von wo ab fängst Du an zu zählen, ab 0, und in welche Richtung, positiv oder negativ?

Zweitens muss Du die zweiten Ableitungen ebenfalls bilden, da die Funktion ossziliert und Maxima und Minima nacheinander auftauchen.

Drittens kann ich Deine Zahlen werte nicht nachvollziehen. Ich bekomme als Extremwerte

$$  \frac {\arctan\left(  \frac{5}{3} \right) + n \ \pi}{5} \text{ mit } n \in \mathbb{Z} $$ Davon musst Du die Maximas eliminieren.

Comments

Die Antwort von Roland war perfekt. Ich habe es nochmal ausführlich ausgerechnet, für die nachfolgenden ratlosen Schüler ;-) 

In der Aufgabenstellung stand, dass die beiden Minima größer 0 sein müssen. Die Zahlenwerte hatte ich von GeoGebra.

Lösung siehe PDF - Anhang

Sinusfunktion - Rechnung.pdf (0,4 MB)