arctan(x) ≠ π/2 - 1/x in [1,∞[

Question

Hat jemand eine Idee, wie man ggf. 

arctan(x)  ≠  π/2 - 1/x   für  x ∈ [1,∞[

exakt zeigen kann?

 Gruß Wolfgang

Answer 1

Hi Wolfgang,

die Funktion $f(x) = \arctan(x) + \frac{1}{x}$ ist streng monoton fallend, weil gilt $f'(x) = -\frac{1}{x^4 + x^2} < 0$ gilt. Weiter ist $f(1) = \frac{\pi}{4} +1 > \frac{\pi}{2}$

Die Funktion $f(x)$ nimmt also den kleinsten Wert  an, wenn $x \to \infty$ geht.

Es gilt $$\lim_{x\to\infty} f(x) = \frac{\pi}{2}$$
Damit gilt $$\arctan(x) > \frac{\pi}{2} - \frac{1}{x}$$