Hi Wolfgang,
die Funktion \( f(x) = \arctan(x) + \frac{1}{x} \) ist streng monoton fallend, weil gilt \( f'(x) = -\frac{1}{x^4 + x^2} < 0 \) gilt. Weiter ist \( f(1) = \frac{\pi}{4} +1 > \frac{\pi}{2} \)
Die Funktion \( f(x) \) nimmt also den kleinsten Wert an, wenn \( x \to \infty \) geht.
Es gilt $$ \lim_{x\to\infty} f(x) = \frac{\pi}{2} $$
Damit gilt $$ \arctan(x) > \frac{\pi}{2} - \frac{1}{x} $$
