integral konvergent (e^x-1)/x^{3/2}

Question

Hey:)

Könnt ihr mir bei der Aufgabe helfen?

Answer 1

$$  \int_0^1 \frac{e^x - 1}{x \sqrt{x}} \ dx = \int_0^1 \sum_{k=0}^\infty \frac{ x^{k- \frac{1}{2} } } { (k+1)! } \ dx = \int_0^1 x^{-\frac{1}{2}} \ dx + \int_0^1 \sum_{k=0}^\infty \frac{ x^{k+ \frac{1}{2} } } { (k+2)! } \ dx $$

Weiter gilt $$ \sum_{k=0}^\infty \frac{ x^{k+ \frac{1}{2} } } { (k+2)! } \le \sum_{k=0}^\infty \frac{ 1 } { (k+2)! } \le e $$

Also gilt insgesamt $$  \int_0^1 \frac{e^x - 1}{x \sqrt{x}} \ dx \le 2 + e $$

Comments

Kann man noch besser abschätzten

$$ \sum_{k=0}^\infty \frac{ x^{k+ \frac{1}{2} } } { (k+2)! } \le \sum_{k=0}^\infty \frac{ 1 } { (k+2)! } \le e-2 $$

Insgesamt also
$$ \int_0^1 \frac{e^x - 1}{x \sqrt{x}} \ dx \le 2 + e - 2 = e $$

Die Entwicklung des Integrals in Abhängigkeit der Länge der Taylorreihe für \( e^x \) sieht man unten. Ebenso das der Wert des Integrals immer unterhalb der Schranke bleibt.

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Wie kommst du auf die Reihe? :)

Also das e^x immer durch die Potenzreihe x^n/k! Darstellt ist mir klar, aber wie kommst du auf das (k+1)! Und das -1/2 im Exponenten

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Indexverschiebungen und berücksichtigen, das im Nenner ja noch \( x^{-\frac{3}{2}} \) steht. Musst ein bisschen ausprobieren.