E-Funktion vereinfachen - Darf ich weiter vereinfachen?

Question

Darf ich die Funktionen so ableiten bzw. vereinfachen?
Hier die Liste...

f(x) = (e^{x} - 1)*(e^{x}-5) = e^{2x} - 6e^{x} + 5

f'(x) = 2e^{2x} - 6e^{x} = 2*(e^{x}-3)*e^{x} = 2e^{x}(e^{x}-3)

f''(x) = 2e^{x}(2e^{x} - 3) 

f'''(x) = 2e^{x}*(4e^{x} - 3) = 8e^{x} - 6e^{x} = 2e^{x}

bei der letzten bin ich mir nicht sicher ob gilt;

2*e^{x} * 4*e^{x} = 8*e^{x} oder 8*e^{2x}

Comments

Bis einschließlich der zweiten Ableitung sieht das gut aus.
Dann aber: Die Ableitung von 2e^x(2e^x - 3)  = 4e^2x - 6e^x ist 8e^2x - 6e^x = 2e^x (4e^x - 3)

Answer 1

" bei der letzten bin ich mir nicht sicher ob gilt;
2*e^x * 4*e^x = 8*e^x oder 8*e^{2x "}

Es gilt 2e^x • 4e^x = 8e^xe^x = 8e^x+x = 8e^2x  

Comments

Wieso unnötig schwer machen? :)

Sind die Rechenwege nicht korrekt ?
Wenn ich sehe würde wo ich den Fehler mache wüsste ich was ich besser machen könnte. 

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"Wieso unnötig schwer machen?"
Die Summe  e^{2x} - 6e^x + 5 abzuleiten, bedarf weniger Rechenschritte als die Ableitung des Produktes (e^x - 1)(e^x - 5). Darum ist die Ableitung der Summe weniger fehleranfällig und leichter zu berechnen. Darum würde ich zuerst die Summe ableiten und danach zusammenfassen bzw. vereinfachen.

"Wenn ich sehe würde wo ich den Fehler mache wüsste ich was ich besser machen könnte."
Vom Ansatz her machst Du es richtig. Der erste Fehler, den ich entdecke ist hier:

e^x [e^x-5 + e^x-1] = e^x [2e^x - 6] ≠ e^x [2e^x - 4]

Beste Grüße
gorgar

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Vielen Dank, also ist e leichter, zuerst anuszumultiplizieren, dann Summer für Summer abzuleiten?

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Ich habs jetzt von Hand auf ein Blattpapier so abgeleitet

f(x) = ( e^{x} - 1 ) * ( e^{x} - 5 ) = e^{2x} - 6e^{x} + 5

f'(x) = 2e^{2x} - 6e^{x}

f''(x) = 4e^{2x} - 6e^{x} 

f'''(x) = 8e^{2x} - 6e^{x}  


Ich hoffe dass es jetzt Richtig ist :)

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Ja, bei dieser Aufgabe ist es deutlich einfacher die Ableitungen summandenweise zu berechnen. Habe dieselben Ergebnisse wie Du.

Beste Grüße
gorgar

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Super, vielen Dank ! :)


Dann ist es ja perfekt, in der anderen schreibweise konnte man einfach einfacher die Nullstellen berechnen. 

Gruss

Answer 2

f(x) = (e^x - 1)*(e^x - 5)= e^2x-e^x-5e^x+5=e^2x-6e^x+5

f'(x) = 2e^2x - 6e^x=e^x(2e^x-6)

f ''(x)= 4e^2x-6e^x

f '''(x)= 8e^2x-6e^x.

Comments

Ich habe versucht die Schritte der Ableitung in diesem FAll nochmal durchzuspielen. Und komme auf folgende Ergebnisse:



1. Ableitung

Funktion: f(x) = (e^{x}-1)(e^{x}-5)
Produktregel: f(u*v)' = u' * v + u * v'

u= e^{x}-1
u'= e^{x}

v=e^{x}-5
v'=e^{x}

e^{x} * ( (e^{x}-5 ) + (e^{x}-1) * e^{x}
e^{x} [ 1*(e^{x}-5 ) + (e^{x}-1) * 1 ]
e^{x} [e^{x}-5 + e^{x}-1]
e^{x} [e^{x}-5 + e^{x}-1]
e^{x} [2e^{x}-4]
2e^{x}(e^{x}-2)

>> f'(x) = 2e^{x}(e^{x}-2)

2. Ableitung

Funktion: f(x) = 2e^{x}(e^{x}-2)
Produktregel: f(u*v)' = u' * v + u * v'

u= 2*e^{x}
u'= 2*e^{x}

v=e^{x}-2
v'=e^{x}

eingesetzt in 
2*e^{x} * (e^{x}-2) + 2*e^{x} * e^{x}
2*e^{x} [ (e^{x}-2) + e^{x} ]
2*e^{x} [ 2e^{x} -2 ]
2*e^{x} [ e^{x} -1 ]*2
4*e^{x} [ e^{x} -1 ]

>> f''(x) = 4*e^{x}( e^{x} -1 )


3. Ableitung

Funktion: f"(x) = 4*e^{x}( e^{x} -1 )
Produktregel: f(u*v) = u' * v + u * v'

u= 4*e^{x}
u'= 4*e^{x}

v=e^{x}-1
v'=e^{x}


4*e^{x} * (e^{x}-1) + 4*e^{x} * e^{x}
4*e^{x} [ 1 * (e^{x}-1) + 1 * e^{x}]
4*e^{x} [ (e^{x}-1) + e^{x}]
4*e^{x} [  2e^{x}-1 ]
4*e^{x} [  e^{x}-0.5 ]*2
8*e^{x} [  e^{x}-0.5 ]

>> f'''(x) =  8*e^{x} [  e^{x}-0.5 ]

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Man kann es sich auch unnötig schwer machen.