Hallo Community,
Aufgabe:
Man zeige, dass $$ 2* \ln \left( 1 + e ^ { x } \right) - x $$ eine Stammfunktion von $$ \frac { e ^ { x } - 1 } { e ^ { x } + 1 } $$ ist.
Mein Ansatz war die Funktion $$ f ( x ) = 2 *\ln \left( 1 + e ^ {x } \right) - x $$ einfach abzuleiten.
$$ f ( x ) = 2* \ln \left( 1 + e ^ {x } \right) - x $$ $$ f ^ { \prime } ( x ) = 2 *\frac {d} { d x} \left[ \ln \left( 1 + e ^ { x }\right) - x \right] $$ $$ f ^ { \prime } ( x ) = 2 * \frac { d} { d x} \left[ \ln \left( 1 + e ^ {x } \right) \right] - \frac { d} { d x} [ x ] $$ $$ f ^ { \prime } ( x ) = 2 * \frac {1} { 1 + e ^ {x } } * \frac {d }{ d x} \left[ 1 + e ^ { x } \right] - 1 $$ $$ f ^ { \prime } ( x ) = \frac {2 e ^ { x } } { 1 + e ^ { x } } - 1 =\frac {2 e ^ { x } } { e ^ { x } +1} - 1 $$
Mein Problem dabei:
Wie kommt man von $$ \frac {2 e ^ { x } } { e ^ { x } +1} - 1 $$ auf $$ \frac { e ^ { x } - 1 } { e ^ { x } + 1 } $$ ?
Mit freundlichen Grüßen
