e-Funktion vereinfachen

Question

Hallo Community,

Aufgabe:

Man zeige, dass $$2* \ln \left( 1 + e ^ { x } \right) - x$$ eine Stammfunktion von $$\frac { e ^ { x } - 1 } { e ^ { x } + 1 }$$ ist.

Mein Ansatz war die Funktion $$f ( x ) = 2 *\ln \left( 1 + e ^ {x } \right) - x$$ einfach abzuleiten.

$$f ( x ) = 2* \ln \left( 1 + e ^ {x } \right) - x$$ $$f ^ { \prime } ( x ) = 2 *\frac {d} { d x} \left[ \ln \left( 1 + e ^ { x }\right) - x \right]$$ $$f ^ { \prime } ( x ) = 2 * \frac { d} { d x} \left[ \ln \left( 1 + e ^ {x } \right) \right] - \frac { d} { d x} [ x ]$$ $$f ^ { \prime } ( x ) = 2 * \frac {1} { 1 + e ^ {x } } * \frac {d }{ d x} \left[ 1 + e ^ { x } \right] - 1$$ $$f ^ { \prime } ( x ) = \frac {2 e ^ { x } } { 1 + e ^ { x } } - 1 =\frac {2 e ^ { x } } { e ^ { x } +1} - 1$$

Mein Problem dabei:

Wie kommt man von $$\frac {2 e ^ { x } } { e ^ { x } +1} - 1$$ auf $$\frac { e ^ { x } - 1 } { e ^ { x } + 1 }$$ ?

Mit freundlichen Grüßen

Answer 1

indem man für 1 = (e^x+1)/(e^x+1) schreibt

= (2e^x)/(e^x +1) - (e^x+1)/(e^x+1)

dann kommt man auf das angegebene Ergebnis.

Comments

Also so?

$$\frac {2 e ^ { x }}{ e ^ { x } + 1} - 1 =\frac {2 e ^ { x }}{ e ^ { x } + 1} - \frac {e ^ { x } + 1}{ e ^ { x } + 1} = \frac {2 e ^ { x }-( e ^ { x } + 1)}{ e ^ { x } + 1} = \frac { e ^ { x }-1}{ e ^ { x } + 1}$$

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Also so?

Wobei bist du dir unsicher?

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Inzwischen habe ich es verstanden. Ich war mir unsicher darüber ob ich das e^x+1 im Zähler in Klammern setzen muss. Ohne kommt man allerdings nicht zum gewünschten Ergebnis.

Vielen Dank für die Hilfe.