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Hallo Community,


Aufgabe:

Man zeige, dass 2ln(1+ex)x 2* \ln \left( 1 + e ^ { x } \right) - x  eine Stammfunktion von ex1ex+1 \frac { e ^ { x } - 1 } { e ^ { x } + 1 } ist.


Mein Ansatz war die Funktion f(x)=2ln(1+ex)x f ( x ) = 2 *\ln \left( 1 + e ^ {x } \right) - x  einfach abzuleiten.


f(x)=2ln(1+ex)x f ( x ) = 2* \ln \left( 1 + e ^ {x } \right) - x f(x)=2ddx[ln(1+ex)x] f ^ { \prime } ( x ) = 2 *\frac {d} { d x} \left[ \ln \left( 1 + e ^ { x }\right) - x \right] f(x)=2ddx[ln(1+ex)]ddx[x] f ^ { \prime } ( x ) = 2 * \frac { d} { d x} \left[ \ln \left( 1 + e ^ {x } \right) \right] - \frac { d} { d x} [ x ] f(x)=211+exddx[1+ex]1 f ^ { \prime } ( x ) = 2 * \frac {1} { 1 + e ^ {x } } * \frac {d }{ d x} \left[ 1 + e ^ { x } \right] - 1 f(x)=2ex1+ex1=2exex+11 f ^ { \prime } ( x ) = \frac {2 e ^ { x } } { 1 + e ^ { x } } - 1 =\frac {2 e ^ { x } } { e ^ { x } +1} - 1


Mein Problem dabei:

Wie kommt man von 2exex+11 \frac {2 e ^ { x } } { e ^ { x } +1} - 1 auf ex1ex+1 \frac { e ^ { x } - 1 } { e ^ { x } + 1 } ?


Mit freundlichen Grüßen

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1 Antwort

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indem man für 1 = (ex+1)/(ex+1) schreibt

= (2ex)/(ex +1) - (ex+1)/(ex+1)

dann kommt man auf das angegebene Ergebnis.

Avatar von 121 k 🚀

Also so?

2exex+11=2exex+1ex+1ex+1=2ex(ex+1)ex+1=ex1ex+1 \frac {2 e ^ { x }}{ e ^ { x } + 1} - 1 =\frac {2 e ^ { x }}{ e ^ { x } + 1} - \frac {e ^ { x } + 1}{ e ^ { x } + 1} = \frac {2 e ^ { x }-( e ^ { x } + 1)}{ e ^ { x } + 1} = \frac { e ^ { x }-1}{ e ^ { x } + 1}

Also so?

Wobei bist du dir unsicher?

Inzwischen habe ich es verstanden. Ich war mir unsicher darüber ob ich das ex+1 im Zähler in Klammern setzen muss. Ohne kommt man allerdings nicht zum gewünschten Ergebnis.

Vielen Dank für die Hilfe.

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