Eigenvektor zum Eigenwert berechnen 3x3

Question

Hi.

ich habe die Aufgabe vorliegen den zugehörigen Eigenvektor zum Eigenwert herauszufinden zu der folgenden Matrix.

Das Problem ist wir haben bei den Eigenwerten (-3/-3/5) eine doppelte Nullstelle und kommen dabei nicht auf die Folgende Lösung.

Die Lösung für X3 ging problemlos. Doch die Lösung mit dem µ(...)+v(...) ist uns zu komplex.

Bitte um Hilfe und danke im Voraus : ) .

Answer 1

die Eigenvektoren ergeben sich für jeden Eigenwert λ aus der Gleichung

⎡ -2 - λ       2      -3 ⎤       ⎡ x ⎤        ⎡ 0 ⎤
⎢    2       1 - λ    -6 ⎥   •   ⎢ y ⎥   =   ⎢ 0 ⎥
⎣  -1         -2       -λ ⎦       ⎣ z ⎦        ⎣ 0 ⎦

für λ = -3   also

⎡  1  2  -3 ⎤     ⎡ x ⎤       ⎡ 0 ⎤
⎢  2  4  -6 ⎥  •  ⎢ y ⎥   =  ⎢ 0 ⎥
⎣ -1  -2  3 ⎦     ⎣ z ⎦       ⎣ 0 ⎦

Mit dem Gauß-Algorithmus erhältst du aus

⎡  1  2  -3  0 ⎤
⎢  2  4  -6  0 ⎥
⎣ -1  -2  3  0 ⎦

die Endmatrix

⎡ 1  2  -3  0 ⎤
⎢ 0  0   0  0 ⎥
⎣ 0  0   0  0 ⎦

y = μ und z = ν  kann man also frei wählen  und man erhält die allgemeine Lösung

[ -2μ + 3ν ; μ ; ν ]^T  =  μ · [ -2 , 1 ,  0 ]^T  + ν · [ 3 , 0 , 1 ]^T  ( mit  μ,ν ∈ ℝ )

Gruß Wolfgang 

Comments

bis zu der Endmatrix kann ich alles nachvollziehen und läuft auch prima.

Doch alles was danach kommt mit dem freiwählen und die allgemeine Lösung aufstellen verstehe ich nicht und finde auch leider keine Lehrreichen Quellen zu dem Schema.

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die Endmatrix ist eine Kurzfassung für das Gleichungssystem

1*x + 2*y -3*z = 0

0*x + 0*y -0*z = 0

0*x + 0*y -0*z = 0

G2 und G3 sind für alle Einsetzungen von x,y,z wahr. Deshalb kann man zwei Variablen (z.B. y=μ  und z=ν mit beliebigen reellen Zahlen μ und ν völlig beliebig wählen und in G1 einsetzen. Dann erhält man x = -2μ + 3v  und damit die (unendliche) Lösungsmenge

L = { [ -2μ + 3ν ; μ ; ν ]^T |  μ,ν ∈ ℝ }

   = {  μ · [ -2 , 1 ,  0 ]^T  + ν · [ 3 , 0 , 1 ]^T |   μ,ν ∈ ℝ }

(T bedeutet "transponiert" und heißt nur, dass    [ .... ]^T  Spaltenvektoren sind.)

Es gibt also zu λ = -3  unendlich viele Eigenvektoren. L heißt deshalb Eigenraum des Eigenwerts  λ = -3.

Mit μ = ν = 0   hat man z.B. die EV   [ -2 , 1 ,  0 ]^T  und   [ 3 , 0 , 1 ]^T

Diese bilden eine Basis des Eigenraums. Die menge aller EV ist deshalb die Menge all ihrer Linearkombinationen.