Quadratische Kongruenzgleichungen Bsp. 2x^2+3x+1 ≡ 0 mod 7

Question

Ich möchte diese Aufgaben lösen und das am besten mit Hilfe vom Jacobi-Symbol. 1) und 2) lässt sich umformen als (2x+1)(x+1)≡ 0 mod 7 und somit hab ich als Ergebnis für 1) x03 und 6 und für 2) x=50 und 100. Aber wie löse ich es mit Jacobi oder Legrenge?

2x^2+3x+1 ≡ 0 mod 7 ⇔ (2x+3)^2≡7≡0 mod . Aber wie gehts weiter?

3) und 4) bekomm ich leider nicht vernünftig umgeformt. Ich komme immer auf Brüche aber das Jacobi-Symbol ist ja nur für ganze Zahlen definiert.

Schon mal vielen Dank für die Hilfe

Answer 1

2x²+3x+1 ≡ 0 mod 7 ⇔ (2x+3)²≡7≡0 mod Stimmt leider nicht.

2x²+3x+1 =(x+1)(2x+1)

Einer der beiden Faktoren muss durch 7 teilbar sein. Dann ist

entweder x≡-1 mod 7 oder 2 x≡-1 mod 7.

M.a.W.:     x≡6 mod 7 oder 2 x≡6 mod 7.

bzw.:         x≡6 mod 7 oder  x≡3 mod 7.

Comments

Stimmt hab mich vertan. 2x^2+3x+1≡0 mod 7 ⇔ (2x+3/2)^2≡1/4 mod 7 .

Darf ich jetzt einfach alles mit 4 multiplizieren und dann mit dem Jacobi Symbol arbeiten?

Die zweite Aufgabe lässt sich ja analog zu 1) ausrechnen und ich komme auf

x≡50 mod 101 oder x≡100 mod 101

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Die zweite Aufgabe hast du richtig gelöst. Eine Kongruenz darf man immer mit einer natürlichen Zahl multiplizieren. Das Jakobi-System kenne ich nicht (Hobbymathematiker).