Berechnung Logarithmus

Question

Hallo kann mir bitte jemand bei den Aufgaben weiter helfen?

Vielen lieben  Dank im voraus

Answer 1

Bei der ersten Gleichung haben wir folgendes: $$3^{x^2}=17\cdot 5^{2x+1} \Rightarrow \log_3 \left(3^{x^2}\right)=\log_3 \left(17\cdot 5^{2x+1}\right) \Rightarrow x^2=\log_3 \left(17\right)+\log_3 \left(5^{2x+1}\right) $$

Der Logarithmus zu einer Basis aa lässt sich folgendermaßen zu einem Logarithmus zur Basis bb umformen $$\log_aP=\frac{\log_b P}{\log_b a}$$ 
Wir bekommen also folgendes: $$x^2=\log_3 \left(17\right)+\frac{\log_5 5^{2x+1}}{\log_5 3} \\ \Rightarrow x^2=\log_3 \left(17\right)+\frac{2x+1}{\log_5 3} \\ \Rightarrow \log_5 (3) \cdot x^2-\log_5 (3) \cdot \log_3 (17) -2x-1=0 \\ \Rightarrow \log_5 (3) \cdot x^2 -2x-(1+\log_5 (3) \cdot \log_3 (17))=0 \\ \Rightarrow  \log_5 (3) \cdot  x^2 -2x-\left(1+\frac{\log_3 (3)}{\log_3 (5)} \cdot \log_3 (17)\right)=0 \\ \Rightarrow  \log_5 (3) \cdot  x^2 -2x-\left(1+\frac{\log_3 (17)}{\log_3 (5)} \right  )=0 $$ Jetzt können wir die Mitternachtssformel anwenden um die Werte von x zu berechnen.

Answer 2

Verwende Eigenschaften des Logarithmus:

1. log_a(a^b) = b
2. log_a(b) + log_a(c) = log_a(b·c)
3. log_a(b) - log_a(c) = log_a(b/c)
4. log_a(b^c) = c·log_a(b)
   
5. log_a(b) / log_a(c) = log_c(b)

Beachte insbesondere, dass die zweite und dritte Eigenschaft die gleiche Basis verlangen. Die kann aber mit der fünften Eigenschaft hergestellt werden.

Die dritte Eigenschaft ermöglicht es, Variablen aus dem Exponenten herauszuholen, unabhängig davon, was die Basis der Potenz oder der Logarithmus ist.