Analysis: Umkehrfunktion bestimmen: f(x)=e^x * sinhx

Question

komme bei folgender Aufgabe nicht auf den Lösungsweg:

f(x)=e^x * sinhx

Laut Tabellenbuch

-e^x = ln(x) und
sinhx= arcsin(x) ist


Lösung sollte lauten:

f-1(x)= 1/2 ln(1+2x)

Aber woher kommen da die Zahlen und was wurde mit dem sinh gemacht?


Schonmal Danke für eventuelle Lösungsansätze

Answer 1

Hi,

es ist sinh(x) = 1/2(e^x-e^{-x})

Damit ist y  = e^x*sinh(x) = 1/2e^x(e^x-e^{-x}) = 1/2*e^2x-1/2

Umkehrfunktion durch austauschen der Variablen:

x=1/2*e^{2y}-1/2      |+1/2

x+1/2 = 1/2*e^{2y}   |*2

2x+1 = e^{2y}            |ln

ln(2x+1) = 2y             |:2

1/2*ln(2x+1) = y

 

Grüße