abc-Formel. ist diese Herleitung in Ordnung?

Question

Ich habe mal als langweile die abc Formel hergeleitet und wollte was zu diesem Schritt fragen.

x + (b)/(2a) = + - √ (b^2)/(2a) - (4ac)/(2a)

x + (b)/(2a) + - √ (b^2-4ac)/(4a^2)

x + (b)/(2a) + - √ (b^2 -4ac)/(2a)

Nun ist die Wurzel vom ganzen Bruch auf den Zähler gerutscht. Warum ist das so ?

Ich habe  versucht dieses Vorgehen mit einem Wurzelgesetz zu erklären und habe das hier genommen.

(√a)/(√b) = √(a)/(b)

Würde dieses Gesetz dazu passen

LG

Answer 1

Ja. Wurzel aus einem Bruch ist auch Wurzel des Zählers durch Wurzel des Nenners. Die Wurzel aus 4a^2 kann man ziehen und das ist direkt 2a.

Ich schreib mal die Herleitung richtig geklammert auf

a·x^2 + b·x + c = 0

a·x^2 + b·x = -c

x^2 + b/a·x = -c/a

x^2 + b/a·x + (b/(2·a))^2 = - c/a + (b/(2·a))^2

(x + b/(2·a))^2 = - c/a + b^2/(4·a^2))

(x + b/(2·a))^2 = - 4·a·c/(4·a^2) + b^2/(4·a^2))

(x + b/(2·a))^2 = (b^2 - 4·a·c)/(4·a^2)

x + b/(2·a) = ± √((b^2 - 4·a·c)/(4·a^2))

x + b/(2·a) = ± √(b^2 - 4·a·c) / (2·a)

x = - b/(2·a) ± √(b^2 - 4·a·c) / (2·a)

x = (- b ± √(b^2 - 4·a·c)) / (2·a)