Vektorraum mit Skalarprodukt. Zeige: ker A^T = (im A)⊥ und im A^T = (ker A)⊥

Question

ich weiß nicht wie ich hier rangehen soll.

Answer 1

Zwei Mengen sind gleich, wenn sie dieselben Elemente haben:

$$x\in\ker A^T\Longleftrightarrow x\in(\operatorname{im}A)^\perp.$$

Du traegst die Definitionen der Begriffe da ein:

$$A^Tx=0\Longleftrightarrow\langle Ay,x\rangle=0\quad\text{fuer alle $y\in V$}.$$

Und das rechnest Du jetzt nach. Gebraucht wird \(\langle a,b\rangle=a^Tb\) und die Nichtausgeartetheit des Skalarprodukts.