Wie berechnet man das Skalarprodukt im R4 bei Orthogonalprojektion?

Question

Liebe community!

Ich muss die Orthogonalprojektion π_u(v) mithilfe der Gramschen Matrix berechnen.

gegeben ist der Unterraum U = {x∈ℝ⁴ | x1 -x2 +x3 -x4 =0 und x1+x3+x4 = 0}

und v =(1,-1,1,-1)^t

Ich habe bis jetzt die Basis von meinem UR berechnet und komme auf die Basisvektoren  b1 = (-1,0,1,0)^t und b2 = (-1,-2,0,1)^t

Bilde ich Gram(b1,b2) erhalte ich demnach die matrix (2 1 ; 1 6) also in Zeile 1 (2,1) und Zeile 2 (1,6).

Weiters muss man doch (⟨b1,v⟩,⟨b2,v⟩)^t berechnen. Nun weiß ich aber nicht wie ich das Skalarprodukt im ℝ⁴ berechne. Ich dachte über die ∑₁⁴ xi*yi wenn nun xi die Elemente von den b Vektoren sind und y, die des v-Vektors. Aber dann kommt bei mir in beiden Fällen 0 raus.

D.h. meine Projektion wäre nur eine NULL-Projektion und das stimmt meines Erachtens nicht.

Answer 1

b_j , v ∈ ℝ⁴  ;  c_j ∈ ℝ

π_u(v)  =  \(\sum\limits_{k=1}^{2}( c_i·b_i)\)   mit

\(\sum\limits_{k=1}^{2}( c_i ·<b_i,b_k>)\) = < v , b_k >   für k=1,2

mit der letzen Zeile erhältst du zwei Gleichungen für c₁ und c₂ . damit kannst du diese ausrechnen und in die 1. Gleichung einsetzen.

info:

https://de.wikipedia.org/wiki/Orthogonalprojektion

Gruß Wolfgang