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Es wäre Super lieb, wenn ihr euch die Zeit nehmen würdet und mir hier weiterhilft.

Jede Kleinigkeit zählt! Lieben Dank.

Untersuchung des Wechselverhaltens von Kaffeekäufern

In seinem Feinkostladen bietet Herr Meier neuerdings die drei exklusiven Kaffeesorten Altemativ. Beliebt und Classic an.

Im Laufe der Zeit hat Herr Meier festgestellt, dass sich die Kunden nicht so rech entscheiden können und alle beim nächsten Einkauf die Sorte wechseln, aber bei den exklusiven Sorten bleiben.

60% der Käufer der Sorte Altemativ wechseln beim nächsten Einkauf zur Sorte Belieb, allerdings kaufen nur 30% der Käufer der Sorte Beliebt beim nächsten Einkauf die Sorte Alternativ.

Die Käufer der Sorte Classic kaufen beim nächsten Einkauf zu gleichen 'Jeden d Sorten Alternativ und Beliebt. Herr Meier mischte sich auf das Verhalten seiner Kunden mit einem entsprechenden Warenangebot langfristig einstellen. Er beauftragt ein Marktforschungsinstitut das kurz- und langfristige Verhalten seiner Kunden zu untersuchen. Dazu teilt er dem Marktforschungsinstitut n.h mit, dass am Samstag 10 Personen die Sorte Altemativ. 15 Personen die Sorte Beliebt und 20 Personen die Sorte Classic gekauft haben. In der Regel kaufen diese Personen jeden Samstag neuen Kaffee.

Nach einem halben Jahr stellt Herr Meier fest, dass 50% aller Käufer der exklusiven Sorten auch Kokosmakronen kaufen, jedoch sind es von den Käufern der Sorte Altemativ nur 30%, die auch Kokosmakronen kaufen. Er überlegt, ob er die Sorte Alternativ weiterhin anbieten soll, deshalb beauftragt er wieder das Markforschungsinstitut um herauszufinden, welchen Anteil an den Kokosmakronenkäufer die Käufer der Kaffeesorte Altemativ bilden.

Übernehmen Sie die Aufgaben des Marktforschungsinstituts und untersuchen Sie das kurzfristige- und langfristige Kaufverhalten der 45 Käufer vom Samstag. Ermitteln Sindaraus ei. Empfehlung für das Warenangebot des Herrn Meier. Beraten Sie ihn auch hinsichtlich der Weiterführung der Kaffeesorte Altemativ in• Zusammenhang mit dem Kauf von Kokosmakronen. Ilinweis Begründen Sie ihr Vorgehen.

Bild Mathematik

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Bitte beachte die Schreibregeln und stelle die Aufgabe nicht nur als Foto sondern auch als Text ein.

Ich habe das mal mittels https://www.onlineocr.net/ gemacht.

@Gast if1722 Mach das demnächst bitte selbst.

1 Antwort

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an : Anteil der Kunden, die nach n Käufen Sorte A kaufen
bn : Anteil der Kunden, die nach n Käufen Sorte B kaufen
cn : Anteil der Kunden, die nach n Käufen Sorte C kaufen

Damit ist

     an+1 = 0,4an + 0,3bn + 0,5cn.

Die 0,5 kommt daher, dass die Hälfte von C zu A wechselt.
Die 0,3 kommt daher, dass 30% von B zu A wechseln.
Die 0,4 kommt daher, dass 60% von A zu B wechseln und die verbleibenden 40% bei A bleiben.

Auf ähnliche Weise kannst du Gleichungen für bn+1 und cn+1 aufstellen.

Es ist a0 = 10/45, b0 = 15/45  und c0 = 20/45. Damit und mit obigen Formeln kann das kurzfristige Verhalten untersucht werden.

Der Term 0,4an + 0,3bn + 0,5cn sieht aus wie das Skalarprodukt \(\begin{pmatrix}0,4\\0,3\\0,5\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}a_n\\b_n\\c_n\end{pmatrix}\). Auf gleiche Weise können bn+1 und cn+1 als Skalarprodukt geschrieben werden. Man kann die Koeffizienten in ein rechtecckiges Zahlenschema eintragen: \(M = \begin{pmatrix}0,4& 0,3 &0,5\\\dots&\dots&\dots\\\dots&\dots&\dots\end{pmatrix}\). Ein solches Zahlenschema wird Matrix genannt. Die Matrix kann man dann mit dem Vektor \(\vec{v}_0 = \begin{pmatrix}a_0\\b_0\\c_0\end{pmatrix}\) "multiplizieren" um den Ergebnisvektor \(\vec{v}_1 = \begin{pmatrix}a_1\\b_1\\c_1\end{pmatrix}\) zu berechnen, indem man

  • das Skalarprodukt aus erster Zeile von M und Vektor berechnet,
  • das Skalarprodukt aus zweiter Zeile von M und Vektor verechnet,
  • das Skalarprodukt aus dritter Zeile von M und Vektor verechnet

und die Ergebnisse untereinanderschreibt.

Es ist also \(\vec{v}_1 = M\cdot\vec{v}_0\). Es ist ebenso \(\vec{v}_2 = M\cdot\vec{v}_1 = M\cdot (M\cdot\vec{v}_0)\)

Weil die Multiplikation von Matrizen dem Assoziativgesetz gehorcht, gilt dann auch \(\vec{v}_2 = M\cdot (M\cdot\vec{v}_0) = (M\cdot M) \cdot\vec{v}_0 = M^2\cdot\vec{v}_0 \). Allgemein ist also

$$\vec{v}_n = M^n\cdot\vec{v}_0$$

Mn berechnest du für große n am besten mit dem Taschenrechner. Damit kannst du dann zum Beispiel berechnen, wie die Verteilung nach 100 Einkufen aussieht.

Unter bestimmten Voraussetzungen (die auf den Schulen in NRW immer erfüllt sind) gilt noch folgende Aussage: Unabhängig davon, was die Kunden am Anfang gekauft haben strebt die Verteilung auf eine Verteilung zu, die sich nicht mehr ändert.

Die Verteilung, auf die zugestrebt wird, heißt Grenzverteilung. Die Verteilung, die sich nicht mehr ändert, heißt stabile Verteilung. Die Aussage kann also so formuliert werden: Die Grenzverteilung ist eine stabile Verteilung. Eine stabile Verteilung kannst du berechnen indem du das Gleichungssystem \(M·\vec{x}=\vec{x}\) löst.

Die Voraussetzungen, die ich oben erwähnt habe sind:

  1. Es darf schlechte Kaffesorten geben, also Kaffesorten, die alle Kunden verlieren.
  2. Kauft man eine Kaffesorte X, dann muss es zu fast jedem Zeitpunkt möglich sein, auch mal die Kaffesorte Y zu kaufen. Das muss für alle Paare (X,Y) aus nicht-schlechten Kaffesorten gelten.
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