Die Kreisgleichung für eine Kreis mit Mittelpunkt \(m\) und Radius \(r\) im Raum (weil Kugeln) wird wohl so aussehen:
$$k(\varphi) = m + e_1 \cdot r \cdot cos \varphi + e_2 \cdot r \cdot \sin\varphi$$
wobei \(e_1\) und \(e_2\) zwei Einheitsvektoren sind, die orthogonal zueinander stehen, und die Kreisebene aufspannen. Um zu prüfen ob dies der Schnittkreis von zwei Kugeln mit den Mittelpunkten \(M_{1,2}\) und den Radien \(R_{1,2}\) ist, prüfe man zunächst ob \(m - M_1\) kollinear zu \(m - M_2\) liegt. Weiter muss gelten, dass
$$m - M_i \perp e_j \quad \text{bzw.} \space (m - M_i) \cdot e_j =0$$
ist. Also die Einheitsvektoren müssen senkrecht auf der Verbindung der Mittelpunkte stehen. Auch muss natürlich
$$e_1 \perp e_2 \quad \text{bzw.} \space e_1 \cdot e_2 =0$$
sein.
Als letzten Punkt bestimme man noch die Entfernung von \(k(\varphi)\) zu \(M_{1,2}\) - es muss in jedem Fall der zugehörige Radius heraus kommen. Der Einfachheit halber berechne man das Quadrat \(a^2\) des Abstands:
$${a_{i}}^2 = \left(M_{i} - k(\varphi)\right)^2= {M_{i}}^2 - 2 M_{i} k(\varphi) + k^2(\varphi)$$
$$\space = {M_{i}}^2 -2 M_{i} \cdot m - 2 M_{i} \cdot e_1 \cdot r \cdot \cos\varphi -2 M_{i} \cdot e_2 \cdot r \cdot \sin\varphi \\ \quad + m^2 + r^2 + 2m \cdot e_1 \cdot r \cdot cos \varphi + 2 m \cdot e_2 \cdot r \cdot \sin\varphi $$
$$ \space = {M_{i}}^2 -2 M_{i} \cdot m + m^2 + r^2 + 2(m -M_i)( e_1 \cdot r \cdot \cos \varphi + e_2 \cdot r \cdot \sin \varphi )$$
das hintere Produkt wird zu 0, da die \(e_j\) senkrecht auf der Verbindung der Mittelpunkte \((m-M_i)\) stehen (s.o.)
$$ \space = (M_i - m)^2 + r^2$$
übrig bleibt der schlichte Pythagoras. Es muss gelten, dass \({a_i}^2= {R_i}^2\) ist.
Sind alle vier Bedingungen erfüllt, so ist der Kreis \(k(\varphi)\) der Schnittkreis der Kugeln.
Gruß Werner
