Berührpunkt Ebene-Kugel berechnen

Question

Hallo,

kann mir jemand bitte sagen, wie ich den Berührpunkt einer Kugel mit einer Ebene herausfinde.

E: 2x-4y+4z=38

K: (x-3)²+(y-3)²+(z-2)²=36

Ich habe schon den Abstand d berechnet. Der Abstand ist -6, aber wie komme ich jetzt auf den Berührpunkt?

Danke

Answer 1

wie ich den Berührpunkt einer Kugel mit einer Ebene herausfinde.

Löse das Gleichungssystem

        2x-4y+4z=38
        (x-3)²+(y-3)²+(z-2)²=36.

Ich habe schon den Abstand d berechnet. Der Abstand ist -6

Der Abstand kann nicht negativ sein

Comments

Wieso nicht?

Wenn der Radius gleich dem Abstand ist, gibt es doch genau einen Berürpunkt.

Das ist hier doch der Fall: Radius des Kreies= +-6 und der Abstand ist -6

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Sorry, für den Abstand muss man natürlich den Betrag verwenden, also ist der Abstand 6

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Der Abstand von Kugel und Ebene ist die Länge der kürzesten Strecke von einem Punkt der Ebene zu einem Punkt der Kugel.

Haben Ebene und Kugel gemeinsame Punkte, dann ist der Abstand 0.

Ich vermute du hast den Abstand der Ebene zum Mittelpunkt der Kugel berechnet.

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Ja ich habe den Abstand Mittelpunkt der Kugel- Ebene berechnet

aber wie komme ich jetzt au den Berührpunkt. (der ist übrigens 5, -1,6)

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Nachdem der Radius 6 ist sollte da ein Abstand 6 nicht genau einen Berührpunkt aussahen?

Answer 2

Aloha :)

Den Berührpunkt von Kugel und Ebene müssen wir treffen, wenn wir vom Mittelpunkt der Kugel aus starten und entlang des Normalenvektors der Ebene wandern, bis wir die Ebene treffen. Der Mittelpunkt der Kugel ist \(M(3|3|2)\) und der Normalenvektor der Ebene ist \(\vec n=(2|-4|4)^T\). Der Berührpunkt \(B\) liegt also auf der Geraden:$$g:\;\vec x=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\3\\2\end{pmatrix}+\lambda\begin{pmatrix}2\\-4\\4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3+2\lambda\\3-4\lambda\\2+4\lambda\end{pmatrix}$$Am Berührpunkt muss die Ebenengleichung erfüllt sein, daher setzen wir die Koordinaten der Geraden in die Ebenengleichung ein:$$38=2x-4y+4z=2(3+2\lambda)-4(3-4\lambda)+4(2+4\lambda)=2+36\lambda$$$$\Rightarrow\quad\lambda=1$$Der gesuchte Berührpunkt ist daher \(B(5|-1|6)\).