Integral von 0 bis unendlich von e^-ax * cos(bx)

Question

Ich soll das Integral von ∫₀ ^∞ e ^-αx cos(βx) dx   α,β ∈ℝ α>0 berechnen und habe zuerst versucht die Stammfunktion zu berechnen.

Bei folgenden Schritt bin ich hängen geblieben:  ∫ e ^-αx cos(βx) dx =  -(β² / α² ) * ∫ e ^-αx cos(βx) dx  + (e ^-αx βsin(βx)) / α² - (e ^-αx cos(βx)) / α

Nun habe ich schon häufig gesehen, dass falls man das ursprüngliche Integral wieder erhält umstellen und durch 2 teilen kann, jedoch weiß ich nicht wie das mit dem Vorfaktor -(β² / α² ) funktionieren soll.

Answer 1

Du addierst das Integral β^2/α^2 *∫ e^{-α x} cos(βx)dx  auf beiden Seiten.

Dann klammerst Du das Integral aus.

Zum Schluß teilst Du durch ( 1 + β^2/α^2)