Quadratische Ergänzung - Skalarprodukt

Question

Ich habe eine kurze Frage:

Gegeben ist die Matrix:
$$ \begin{pmatrix}  3 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 &-1 \\ \end{pmatrix} $$
Ich soll dabei g∈GL₃(ℝ) so bestimmen, dass gilt:

\begin{pmatrix} I_k & 0 & 0 \\ 0 & -I_l & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\\end{pmatrix} 

Das Verfahren ist eigentlich klar. Ich soll erstmal s(v,v)=<v,Av> bestimmen, dann die quadratische Ergänzung wobei man  s(v,v)=<v,Av> zunächst als Funktion von v₃ betrachten soll.

Ich habe berechnet: <v,Av> =  $$ 3v_1^2-1v_3^2-2v_1v_2+2v_2v_3 $$

Meine Frage ist, wie ich hier nun das mit der quadratischen Ergänzung machen kann..

Comments

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Eine exakte Aufgabenstellung wäre hilfreich.

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Das ist die Aufgabenstellung 

Answer 1

Nach meinen Berechnungen lautet die Abbildung \(s\) mit \(v=(v_1,v_2,v_3)^\top\)  folgendermaßen$$s(v,v)=\langle v,Av\rangle=v^\top\!\!Av=3v_1^2-v_3^2+2v_2v_3=3v_1^2+v_2^2-(v_3-v_2)^2.$$

Comments

Ich habe das so gerechnet:

$$v^TAv$$ Es resultiert $$  v_1(3v_1-v_2) + (v_2-v_3)v_3+v_2(v_3-v_1) $$ = $$ 3v_1^2-v_2v_1+v_2v_3-v_3^2+v_2v_3-v_1v_2$$ 

=$$ 3v_1^2-1v_3^2-2v_1v_2+2v_2v_3 $$

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Sollte das erste Minuszeichen nicht ein Pluszeichen sein?

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Oder fehlt ein Minuszeichen in der gegebenen Matrix?

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Oh man.. Ich sehe es gerade.. Ich habe bei der Matrix einen Fehler gemacht.. Es steht (1,0,1) statt (-1,0,1)

Die Matrix aus der geposteten Aufgabenstellung ist richtig..

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Demnach wäre  denke ich

$$ 3v_1^2-1v_3^2-2v_1v_2+2v_2v_3$$  korrekt

Nur weiß ich immer noch nicht wie das mit der quadratischen Ergänzung gehen soll, sodass ich das in solch einer Form habe:

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Die quadratische Ergänzung könnte wie folgt aussehen:$$\large\begin{aligned}s(v,v)&=(3v_1^2-2v_1v_2\color{blue}{+v_2^2})-(v_3^2-2v_2v_3\color{blue}{+v_2^2})\\&=2v_1^2+(v_1^2-2v_1v_2+v_2^2)-(v_3-v_2)^2\\&=2v_1^2+(v_1-v_2)^2-(v_3-v_2)^2.\end{aligned}$$

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Ok. Ich richte mich jetzt mal an dem Beispiel was ich gepostet habe:

Dann wäre

$$ =2v_1^2+(v_1-v_2)^2-(v_3-v_2)^2 =  w_1^2+w_2^2-w_3^2 $$

Es resultiert:  $$\\  w_1=2v_1$$

$$\\  w_2=v_1-v_2$$

$$\\  w_3=v_3-v_2$$

Dann gilt:

$$ B=\begin{pmatrix}  2 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 0 \\ 0 & -1 & 1\end{pmatrix}$$

Ob das so richtig ist weiß ich nicht. Es stand ja man soll  zunächst $$ s(v,v)=\langle v,Av\rangle$$ als Funktion von $$\\v_3 $$betrachten. Das habe ich jetzt nicht so ganz verstanden.

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(1) Betrachte zunächst \(v_1\) und \(v_2\) als konstant und wende das Verfahren der quadratischen Ergänzung auf den Teil \(-v_3^2+2v_2v_3\) an, d.h.  addiere \(-v_2^2+v_2^2\). Resultat ist \(v_2^2-(v_3-v_2)^2\).
(2) Es sollte \(w_1=\sqrt2\,v_1\) heißen.
(3) Tipp: Wenn du \(\TeX\)-Code im Fließtext verwenden möchtest, verwende \\(\)(...\\(\)) statt $\(\)$...$\(\)$.

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Alles klar. Dann lautet die Matrix

$$ B=\begin{pmatrix}  \sqrt{2} & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 0 \\ 0 & -1 & 1\end{pmatrix} $$

Ich verstehe aber hier beim Beispiel 


nicht wie man von $$ B=\begin{pmatrix}  1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix} $$
Plötzlich auf 
$$ \begin{pmatrix}  1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} $$

im Skalarprodukt kommt--

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Also ich hab jetzt nochmal rum geguckt, und bin jetzt mal auf folgendes Ergebnis gekommen:

\( s(v,v)=w_1^2+w_2^2-w_3^2 = < w,    \begin{pmatrix}  1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \\  0  & 0 & -1\end{pmatrix}w >\) = \(  < Bv, \begin{pmatrix}  1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \\  0  & 0 & -1\end{pmatrix} Bv>\)= \(< v,B^T\begin{pmatrix}  1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \\  0  & 0 & -1\end{pmatrix}Bv> \) =

$$ A=B^T \begin{pmatrix}  1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \\  0  & 0 & -1\end{pmatrix}B$$

Daraus folgt

$$ g=B^{-1}= \begin{pmatrix} \frac {2}{\sqrt(2)}  & 0 & 0 \\ \frac {2}{\sqrt(2)} & -1 & 0 \\ \frac {2}{\sqrt(2)} & -1 & 1 \end{pmatrix} $$  Hier bin ich mir eher

Es folgt: $$g^TAg= \begin{pmatrix}  1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \\  0  & 0 & -1\end{pmatrix}$$

Die frage ist ob das alles so richtig ist ..

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(1) Fehlt nach dem fünften Gleichheitszeichen nicht noch \(\langle v,Av\rangle\) oder steht es dort versehentlich?
(2) Deine Inverse von \(B\) ist nicht ganz richtig.

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(1) Also das fünft Gleichheitszeichen, sollte eig, zu   A=B^T....B    gehöhren, war wohl von der Ordnung ungünstig

(2) Stimmt. Sie lautet dann ja: $$g=B^{-1}= \begin{pmatrix} \frac {\sqrt2}{2}  & 0 & 0 \\ \frac {\sqrt2}{2} & -1 & 0 \\ \frac {\sqrt2}{2} & -1 & 1 \end{pmatrix}  $$

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Ich hoffe hier ist jetzt alles richtig..

(Man sollte ja g so bestimmen, dass die Matrix eine bestimmte Form hat, wie ich oben gepostet hatte, die trifft hier ja komischerweise nicht zu, deswegen bin ich leicht verwirrt)

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Die Matrix \(g^\top\!\!Ag=\left(\begin{array}{cc|c}1&0&0\\0&1&0\\\hline0&0&-1\end{array}\right)\) hat mit \(k=2\) und \(l=1\) die gewünschte Form. Der dritte Block mit der Nullmatrix entfällt hier.

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Ah super. Danke dir nochmal für alles.