Beweis zu der Fläche des Parallelogramms

Question

Wir definieren die Fläche eines von zwei Vektoren v,w ∈ ℝ^2

aufgespannten Parallelogramms als das Produkt aus der Grundseite und der Höhe des Parallelogramms. Dabei kann man einmal v und einmal w als Grundseite wählen. Zeige, dass beide Wahlen dieselbe Fläche liefern.

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Zeige, dass beide Wahlen dieselbe Fläche liefern.

Stichworte: dreieck,vektoren

 Wir definieren die Fäche eines von zwei Vektoren v, w ∈ ℝ² aufgespannten Parallelogramms als das Produkt aus der Grundseite und der Höhe des Parallelogramms. Dabei kann man einmal v und einmal w als Grundseite wählen. Zeige, dass beide Wahlen dieselbe Fläche liefern. 

Answer 1

 

h₁ = |\(\vec{v}\)| * sin(α)   ,   h₂ = |\(\vec{w}\)| * sin(α)  

A  =  |\(\vec{w}\)| * h₁  =  |\(\vec{w}\)| * |\(\vec{v}\)| * sin(α) 

A =  |\(\vec{v}\)| * h₂  =  |\(\vec{v}\)| * |\(\vec{w}\)| * sin(α)  

Gruß Wolfgang

Answer 2

Seien V und W die Punkte, deren Ortsvektoren v bzw. w sind.

Sei g_w die Gerade durch den Ursprung und durch W, g_hw die Gerade, die orthogonal zu g_w ist und durch den Punkt V verläuft und S_w der Schnittpunkt von g_w und g_hw.

Sei g_v die Gerade durch den Ursprung und durch V, g_hv die Gerade, die orthogonal zu g_v ist und durch den Punkt W verläuft und S_v der Schnittpunkt von g_v und g_hv.

Zeige dass |w| · |VS_W| = |v| · |WS_V| ist.

Comments

Ich habe eine Frage und zwar reicht es doch auch als Beweis für die Aufgabe, dass man zeigt, dass die Fläche die det((a_1,b_1)(a_2,b_2)) ist .

Ich bin jetzt soweit, dass ich die Determinante erhalte, wenn

<a,a>*<b,b>*cos^2(α) = (cos(α))^2 = <a,b>^2 ergibt(alpha ist der Winkel zwischen a und b). Mein Problem ist, dass ich nicht weiß wie ich auf die erste Gleichheit komme.

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> dass die Fläche die det((a_1,b_1)(a_2,b_2)) ist

Ich weiß nicht was du meinst. Weder in deiner Aufgabenstellung, noch in meiner Antwort steht irgendetwas über a_1, b_1, a_2 und b_2.

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Tut mir Leid hab anstatt v, w mit a,b ∈ ℝ^2 und probiert die Behauptung, damit zu zeigen dass ich die Fläche auch nur mithilfe von v und w berechnen kann und somit die Höhen nicht brauche.

Das mit der Gleichheit, wie du vorgeschlagen hast, also ||v||*||h_v||=||w||*||h_w|| bekomme ich nicht hin .

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> und zwar reicht es doch auch als Beweis für die Aufgabe, dass man zeigt, dass die Fläche die det((a_1,b_1)(a_2,b_2)) ist.

Es geht in der Aufgabe nicht darum, eine Formel für den Flächeninhalt eines Parallelogramms zu finden.

Es geht in der Aufgabe darum, zu zeigen, dass der Flächeninhalt durch die Definition "Flächeninhalt = Grundseite · Höhe" wohldefiniert ist.

Beispiel. Der Flächeninhalt eines Dreiecks mit den Seitenlängen a, b und c sei definiert als 1/2·a·b.

Diese Definition ist deshalb untauglich, weil nach dieser Definition das Dreieck mit den Seitenlängen 2, 2 und 3 unterschiedliche Flächeninhalte hätte, je nach dem welche Seite mit a, b und c bezeichnet wird. Die Definition sollte sicher stellen, dass der Flächeninhalt nicht von den Bezeichnungen der Seiten abhängt, sondern nur von dessen Längen.

Deine Aufgabe besteht darin, zu zeigen, dass obige Definition des Flächeninhalts eines Parallelogramms das erfüllt; dass also der gleiche Flächeninhalt herauskommt, egal welche Seite als Grundseite bezeichnet wird. Dazu musst unbedingt auf obige Definition des Flächeninhalts eines Parallelogramms zurückgreifen, ein mal ie eine Seite als Grundseite auffassen, ein mal die andere und dann miteinander vergleichen.

> Das mit der Gleichheit, wie du vorgeschlagen hast, also ||v||*||h_v||=||w||*||h_w|| bekomme ich nicht hin .

Bei welchem Schritt hast du Schwierigkeiten?

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Schon gleich am Anfang ich weiß dass ||h_v|| = ||w||* sin α

Also ||v||*||h_v||= ||v||* ||w|| * sin α     und sinα= √(1-cos^2(α)) aber  ich sehe nicht wie mir das weiterhilft ich muss ja nachher auf ||v||*||w||* sinβ=||w||*||h_w||  kommen (β ist der Winkel zwischen v und der gegenüberliegenden Seite von w ).

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> ich weiß dass ||h_v|| = ||w||* sin α

Dann müsste ja auch ||h_w|| = ||v||* sin α sein.

> Also ||v||*||h_v||= ||v||* ||w|| * sin α

Überraschenderweise ist auch ||w||*||h_w||= ||w||* ||v|| * sin α = ||v||* ||w|| * sin α.

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Wieso müsste ||h_w || = ||v|| * sin α

Für ||h_w || benötigt man doch den Winkel zwischen der gegenüberliegenden Seite von W und V und der ist doch nicht α sondern β und α=β gilt doch nicht.

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> Für ||h_w || benötigt man doch den Winkel zwischen der gegenüberliegenden Seite von W und V

Wie du aus dem Bild von -Wolfgang- siehst, ist das nicht so.