Bestimmung der Fläche des Parallelogramms

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie die Fläche des Paralellograms.

A: (0,1,0)

B: (1,1,1)

C: (0,0,2)

Problem/Ansatz:

Die Formel ist:

AParalellogramm = (a*b) (Vektor)

Das Kreuzprodukt ist somit (1, 0, -1)

\( \sqrt{(1)^2+(-1)^2} \)

So komme ich auf \( \sqrt[n]{2} \)

und die Lösung wäre Wurzel von 6?

Weiss jemand wieso?

Und wie kannich einen Vektor bestimmen der sekrecht auf das Parallelogramm steht?

Danke für jede Hilfe!

Answer 1

Aloha :)

Die Fläche des Parallelogramms ist gleich dem Betrag des Kreuzproduktes der beiden Vektoren \(\overrightarrow{BA}\) und \(\overrightarrow{BC}\), also:

$$F=\left\|\overrightarrow{BA}\times\overrightarrow{BC}\right\|=\left\|(\vec a-\vec b)\times(\vec c-\vec b)\right\|=\left\|\begin{pmatrix}-1\\0\\-1\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}-1\\-1\\1\end{pmatrix}\right\|$$$$\phantom{F}=\left\|\begin{pmatrix}0\cdot1-(-1)\cdot(-1)\\(-1)\cdot(-1)-(-1)\cdot1\\(-1)\cdot(-1)-0\cdot(-1)\end{pmatrix}\right\|=\left\|\begin{pmatrix}-1\\2\\1\end{pmatrix}\right\|=\sqrt{1+4+1}=\sqrt6$$Du hast dich bei dem Kreuzprodukt verrechnet oder die falschen Vektoren gekreuzt.

Das Kreuzprodukt steht senkrecht auf dem Parallelogramm, also kannst du den Vektor \((-1|2|1)\) angeben.

Comments

Oh stimmt, hatte wohl einen Rechenfehler..

Danke dir viel Mal!!

Darf ich dich noch kurz fragen, ob man jetzt mit den Vektor weiter einen Vektor bestimmen kann der seknrecht auf demParallelogramm steht?

Besten Dank für deine Hilfe!

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Ja, das Kreuzprodukt steht senkrecht auf dem Parallelogramm. Das hatte ich noch ergänzt. Du kannst also den im Kreuzprodukt berechneten Vektor angeben.

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Wie könnte man dies überprüfen dass auch (−1∣2∣1) richtig ist?

Habe jetzt kurz in die Lösungen geschaut und dort steht: (1∣-2∣-1)?

Danke dir!:-)

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hatte wohl einen Rechenfehler.

Nein, du hast die Formel A = | (vec_a) x (vec_b) | benutzt und mit den gegebenen Vektoren a und b das Kreuzprodukt und seinen Betrag richtig berechnet.

Die gegebenen Vektoren sind aber nicht diejenigen, die das Parallelogramm aufspannen sondern zwei Ortsvektoren zu Eckpunkten des Parallelogramms, deshalb erhältst du nicht den Flächeninhalt desjenigen Parallelogramms um das es hier geht sondern eines anderen.

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Der Vektor \((-1|2|1)\) zeigt von der Ebene weg, in die eine Richtung. Der Vektor \((1|-2|-1)\) zeigt von der Ebene weg in die andere Richtung. Sie unterscheiden sich nur um den Faktor \((-1)\). Es gibt unendlich viele Vektoren, die auf dem Parallelogramm senkrecht stehen. Du kannst nämlich den Vektor \((-1|2|1)\) mit jeder beliebigen Zahl (außer Null) multiplizieren und erhältst immer einen Vektor, der senkrecht auf dem Parallelogramm steht, sie sind nur verschieden lang und zeigen (je nach Vorzeichen) in entgegengesetzte Richtugnen.

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Achsoo, danke euch viel viel Mal!!