kritische Punkte bestimmen x^2*y^2+y^3-y

Question

Hey:)

Häng bei der Bestimmung der kritischen Punkte fest. Aber zuerst meine Teilergebnisse:

i) f_y(x,y) = 2xy²

f_y(x,y) = 2x²y +3y²-1

Gradient: (2xy²

                     2x²y +3y²-1)

Hesse-Matrix:

( 2y^{2.         4xy}

^{4xy             2x^2 +6y)}

ii) Jetzt müsste ich ja den Gradienten gleich null setzen, aber ich krieg das LGS 

2xy^2 =0

2x^2 y+3y^2 -1=0 nicht gelöst

Answer 1

f(x,y) = x^2·y^2 + y^3 - y

f'(x, y) = [2·x·y^2, 2·x^2·y + 3·y^2 - 1] = [0, 0]

Löse das Gleichungssystem und erhalte: (x = 0 ∧ y = - √3/3) ∨ (x = 0 ∧ y = √3/3)

2·x·y^2 = 0 --> Hier gibt es nur die Möglichkeit x = 0 oder y = 0

2·x^2·y + 3·y^2 - 1 = 0 --> sicher nicht erfüllt für y = 0 also muss x = 0 sein.

Also

3·y^2 - 1 = 0

das sollte doch nicht so schwer sein oder?

Comments

?

Passt das so?y=√(1/3)

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y = √(1/3)  = √( 3/(3*3) ) = √3 / 3 

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Wenn ich jetzt x=0 und y=√3/3 in die Hesse-Matrix einsetze, erhalte ich:

(2/3 0

0.    0)

Dann wäre doch die Determinante null und welche Aussage könnt ich jetzt über die keitischen Punkte treffen?

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Hallo Sonnenblume,

Für den kritischen Punkt (0, √3/3)  erhalte ich

Hessematrix:

f_xx     f_xy 

f_yx     f_yy  

2/3 *√3        0

     0           2√3

Die Determinante ist positiv  →  Extremwert

und wegen  f_xx (0,√3/3) > 0   →   Tiefpunkt

Gruß Wolfgang

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Achtung. Es sollte 2 kritische Punkte geben. Man sollte beide ausrechnen.

Den Tiefpunkt habt ihr ja schon richtig erkannt.

Der andere kritische Punkt ist allerdings kein Extrema sondern ein Sattelpunkt.

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Ich habe einen Kommentar der Fragestellerin kommentiert, in dem es um den kritischen Punkt (0,√3/3) ging.

Wenn ich die Frage vollständig hätte beantworten wollen, hätte ich das in einer Antwort getan :-)

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Mein Kommentar bezog sich in erster Linie auch auf die Fragestellerin und nicht auf dich.

Wobei du auf die Frage passt das so lieber hättest anworten können: "Fast, Du hast eine Lösung für y unterschlagen". Anstatt nur ihre Lösung umzuschreiben.

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Ich bin ziemlich sicher, dass sie deine zwei Lösungen durchaus zur Kenntnis genommen hatte und nach ihrer Rechnung genau mit dieser Umschreibung ein Problem hatte!

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Ok. Mir war das nicht so klar wo die Probleme liegen. Aber das kann natürlich sein.

Aber ich hoffe der Sonnenblume ist jetzt alles klar.

Wenn ja dann ruhig die richtige Lösung mit Lösungsweg hier einstellen.