Gewinnfunktion mit 2 Variablen maximieren

Question

Gegeben sei die Gewinnfunktion G(x,y) = -4x²+120x-2y²+240y-2xy-1000
Bestimmen Sie nun die Outputmengen x und y des Gewinnmaximums und den maximalen Gewinn.

Was für Werkzeuge benötige ich hier bei einer Gleichung mit 2 Variablen und könnte es mir anhand dieses Beispiels kurz jemand vormachen ?

Danke und LG

Answer 1

Hallo

G(x,y) = -4x²+120x-2y²+240y-2xy-1000 

zuerst musst du die partiellen Ableitungen G_x  und  G_y  ausrechnen. Dabei ist die jeweils andere Variable als konstant zu betrachten:

G_x (x,y)  =  - 8·x - 2·y + 120

G_y (x,y)  =  - 2·x - 4·y + 240

Die möglichen Extremstellen (kitische (stationäre) Punkte)  erhältst du durch Lösen des Gleichungssystem 

G_x = 0 und G_y = 0

- 8·x - 2·y + 120  und - 2·x - 4·y + 240 = 0         ⇔  x = 0  und  y = 60

Einziger kritischer Punkt (0 | 60)

Dann brauchst du zur Überprüfung, ob ein und - wenn ja - welche Art von Extremum vorliegt, die zweiten partiellen Ableitungen. Diese sind hier alle konstant:

G_xx = -8   ;  G_yy = -4  ;  G_xy = G_yx = -2 

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Allgemeine Zusammenfassung:

für jeden der erhaltenen stationären(kritischen) Punkte prüfst du durch Einsetzen:

f_xx • f_yy - f_xy²    > 0 → Extrempunkt 

                         < 0  → Sattelpunkt

                         = 0     erfordert weitere Betrachtung mit der Hessematrix

im Fall "Extremum" weiter:

fxx  < 0  →  Hochpunkt 

       > 0  →  Tiefpunkt

       = 0   kann nicht vorkommen

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Hier  G_xx * G_yy - G_xy²  = (-8) * (-4) - (-2)²  =  30 > 0   →   Extremum

          G_xx < 0  →  lokales Maximum

da die zweiten partiellen Ableitungen alle konstant sind, handelt es sich auch um ein globales Maximum.

G(0,60) = 6200 [GE] ist der maximale Gewinn.

Hier kannst du dir den Graph von G(x,y) ansehen:

http://www.livephysics.com/tools/mathematical-tools/online-3-d-function-grapher/?xmin=-50&xmax=100&ymin=-50&ymax=150&zmin=-50000&zmax=7000&f=-4%2Ax%5E2%2B120%2Ax-2%2Ay%5E2%2B240%2Ay-2%2Ax%2Ay-1000

Gruß Wolfgang