Kurvendiskussion und Stammfunktion: Gegeben ist die Funktion f(x) = (x-2) * e^x

Question

a) untersuchen Sie die Funktion f auf Nullstellen, Extrema und Wendepunkte

b)zeichnen Sie den Graphen von f für -3,5<x<6

c) wo schneidet die Wendenormale die x-Achse?

d) gesucht ist eine Stammfunktion F von f. Verwenden Sie den Ansatz F(x)=(ax+b)e^x   Kontrollergebnis F(x) = (x-3) e^x

e)bestimmen Sie den Inhalt der Fläche A , die vom Graphen von f und den Koordinaten Achsen im 4. Quadranten umschlossen wird.

f) Die Punkte A (z I 0) , B (z I f(z)) und C (2 I 0) bilden für z<2 ein Dreieck, das um die x-Achse rotiert. Für welchen Wert von z ist das Volumen des so anstehenden Kegels maximal?

Answer 1

a) untersuchen sie die Funktion f auf Nullstellen, extrema und Wendepunkte

f ( x ) = ( x-2 ) * e^x
f ´( x ) = 1 * e^x + ( x -2 ) * e^x
f ´ ( x ) = e^x * ( x -1 )
f ´´ ( x ) = e^x + ( x -1 ) * e^x
f ´´ ( x ) = x * e^x

Nullstelle : Satz vom Nullprodukt anwenden
x - 2 = 0
x = 2
N ( 2 | 0 )

Stellen mit waagerechter Tangente
f ´ ( x ) = e^x * ( x -1 ) = 0
x -1 = 0
x = 1
f ( 1 ) = -e
T ( 1 | -e )

f ´´ ( 1) = 1 * e^1 = e positiv = Tiefpunkt

Wendepunkt
f ´´ ( x ) = x * e^x = 0
x = 0
W ( 0 | -2 )

b)zeichnen sie den Graphen von f für -3,5<x<6

Comments

c) wo schneidet die wendenormale die x-achse?

W ( 0 | -2 )

Steigung am Wendepunkt
f ´( 0 )  = e⁰ * ( 0 -1 ) = -1

Steigung Wendenormale
m = - 1 / (-1) = 1

-2 = m * 0 + b
b = -2

n ( x ) = 1 * x -2
Schnittpunkt mit der x-Achse
x -2 = 0
x = 2

( 2 | 0 )

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e)bestimmen Sie den Inhalt der Fläche A ,
die vom Graphen von f und den Koordinaten
Achsen im 4. Quadranten umschlossen wird.

[ F ( x ) ] zwischen 0 und 2

(2-3) e² - (0-3) e⁰
- e^2 - ( -3 * 1 )
-e^2 + 3
-4.39

A = 4.39

Answer 2

f(x)=(x-2)·e^x

a) Untersuchen sie die Funktion f auf Nullstellen, Extrema und Wendepunkte.

Nullstellen 0=(x-2)·e^x. Nur der Faktot x-2 kann 0 sein, also x=2 ist einzige Nullstelle.

Extrema: f '(x)= e^x + (x-2)e^x=e^x(x-1). Mögliche Extremstelle x=1

f ''(x) = e^x(x-1)+e^x=x·e^x. f ''(1)=e^x>0 bei x=1 liegt ein Tiefpunkt

Wendepunkte: f ''(x) = e^x(x-1)+e^x=x·e^x. x=0 ist mögliche Wendestelle