Trigonometrie: Rechtwinkliges Dreieck mit |AB| = √3 und "bisectrice intérieure"

Question

Soit ABC un triangle rectangle en A. L’angle \( \overbrace{BCA} \) a une amplitude de 30 degrés et le côté [A,B] mesure √3 mètres. La bissectrice intérieure de l’angle \( \overbrace{CBA} \) coupe [A,C] en D. Quelle est la longueur de [C,D] ? 2 mètres

Ein rechtwinkliges Dreieck ABC en A. Der Winkel ∠BCA hat eine Amplitude von 30 Grad und die Seitenlänge [A,B] √3 Meter. Die innere Winkelhalbierende des Winkels ∠CBA schneidet D. Wie viel Meter beträgt die Länge von [C,D]

Meine Idee: Wenn ich mit dem Sinussatz die Länge habe, verdopple ich sie und hab dann die Lösung.

Comments

In deiner ersten Skizze hast du die Seitenhalbierende / Schwerlinie des Dreiecks durch C eingezeichnet. In der zweiten eine Winkelhalbierende von Gamma.

Auf Deutsch ist immer der Winkel in der Mitte der Buchstabenkombination gemeint. Also Winkel BCA ist Winkel gamma. usw, Schaue mal, ob du in der französischen Literatur eine andere Definition findest. Ansonsten: Zeichnung ändern.

"coupe [A,C] en D. "

Bedeutet

"schneidet die Strecke [A,C] in Punkt D."

D.h. dann D ist ein Punkt auf der Strecke [A,C] . Beschrifte die Ecken und Winkel.

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Dann solltest du das dort so kommentieren, anstatt die Frage wieder einzustellen.

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Du schreibst: "... aber später rausgefunden, dass die Lösung nicht stimmt, die man mir hier gegeben hat."

Was genau stimmt nicht? Ich meine, die Lösung von Marianthi ist richtig.

Ansonsten stelle bitte die Aufgabenstellung in ganzen deutschen Sätzen hier noch mal ein. Du kannst auch z.B. schreiben 'Wurzel(3)' statt '\(\sqrt{3}\)' - das versteht hier jeder. Oder noch besser, Du machst eine Skizze zu der Aufgabenstellung.

Ich interpretiere "Soit ABC un triangle rectangle en A" als "ABC sei ein rechtwinkliges Dreieck mit dem rechten Winkel in A" - oder?

Answer 1

Deine Zeichnung ist nicht ganz richtig. Es ist folgenderweise: 

Da der Winkel A gleich 90 Grad und C gleich 30 Grad ist, bekommen wir dass B gleich 180-(90+30) = 180-120 = 60 Grad ist.

Vom Sinussatz beim Dreieck ABC haben wir folgendes: $$\frac{\sin C}{AB}=\frac{\sin B}{AC} \Rightarrow \frac{\sin 30^{\circ}}{AB}=\frac{\sin 60^{\circ}}{AC} \Rightarrow \frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{3}}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{AC} \Rightarrow \frac{1}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2\cdot AC} \Rightarrow AC=3$$

Vom Sinussatz beim Dreieck BDC bekommen wir folgendes: $$\frac{\sin \frac{B}{2}}{DC}=\frac{\sin C}{BD} \Rightarrow \frac{\sin 30^{\circ}}{DC}=\frac{\sin 30^{\circ}}{BD} \Rightarrow BD=DC$$

Vom Sinusstz beim Dreieck ABD bekommen wir folgendes: $$\frac{\sin \frac{B}{2}}{AD}=\frac{\sin A}{BD} \Rightarrow \frac{\sin 30^{\circ}}{AC-DC}=\frac{\sin 90^{\circ}}{DC} \\ \Rightarrow \frac{\frac{1}{2}}{3-DC}=\frac{1}{DC} \Rightarrow \frac{1}{6-2DC}=\frac{1}{DC} \\ \Rightarrow 6-2DC=DC  \Rightarrow 3DC=6 \Rightarrow DC=2$$

ODER:

Wir haben folgendes $$\tan(ABC)=\frac1{\sqrt3}=\frac{CD}{\sqrt3}\Rightarrow CD=1 \\ \tan(ABD)=\sqrt3=\frac{DA}{\sqrt3}\Rightarrow DA=3$$

Also haben wir dass $$CD=CA-DA=2$$